Номер 2, страница 4 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 2, страница 4.

Условие.

Самостоятельная работа № 2

Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшие значения функции

1. На рисунке 1 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве действительных чисел. Используя график, найдите:

1) нули функции;

2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;

4) $\min_R f(x)$; $\max_R f(x)$;

5) $\min_{[3;4]} f(x)$; $\max_{[3;4]} f(x)$.

2. Докажите, что функция $f(x) = \frac{4}{x-1}$ убывает на промежутке $(1; +\infty)$.

3. Найдите $\min_{D(f)} f(x)$ и $\max_{D(f)} f(x)$, если $f(x) = 3 - \sqrt{1-x^2}$.

4. Возрастающая функция $f$ определена на множестве $R$. Возрастающей или убывающей является функция $f(g(x))$, если $g(x) = 3 - 2x$?

5. Решите уравнение $x^3 + 2\sqrt{2x+5} = 14$.

Решение.

1) нули функции;

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y=f(x)$ равно нулю. Графически это точки пересечения графика с осью абсцисс (осью Ox).
Из рисунка 1 видно, что график функции пересекает ось Ox в точках $x=0$ и $x=4$.

Ответ: $0; 4$.

2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;

Значения функции положительны ($f(x) > 0$), когда ее график расположен выше оси Ox.
Из рисунка 1 видно, что это происходит на интервале между нулями функции.

Ответ: $x \in (0; 4)$.

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;

Функция возрастает на тех промежутках, где ее график идет вверх (при увеличении $x$ значение $y$ увеличивается). Функция убывает, где ее график идет вниз (при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается).
Вершина параболы находится в точке $x=2$.
График идет вверх на промежутке от $-\infty$ до $2$.
График идет вниз на промежутке от $2$ до $+\infty$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 2]$; функция убывает на промежутке $[2; +\infty)$.

4) $\min_{R} f(x)$; $\max_{R} f(x)$;

Наименьшее и наибольшее значения функции на всей области определения $R$ (множество действительных чисел).
График представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз. Это означает, что функция не ограничена снизу, и ее значения уходят в $-\infty$. Следовательно, наименьшего значения не существует.
Наибольшее значение функция принимает в своей вершине. Координаты вершины $(2; 4)$. Наибольшее значение равно ординате вершины.

Ответ: $\min_{R} f(x)$ не существует; $\max_{R} f(x) = 4$.

5) $\min_{[3;4]} f(x)$; $\max_{[3;4]} f(x)$.

Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[3; 4]$.
На этом отрезке, как видно из пункта 3, функция является убывающей.
Следовательно, свое наибольшее значение она принимает в левой границе отрезка (при $x=3$), а наименьшее — в правой (при $x=4$).
Из графика находим: $f(3)=3$, $f(4)=0$.

Ответ: $\min_{[3;4]} f(x) = 0$; $\max_{[3;4]} f(x) = 3$.

2. Докажите, что функция $f(x) = \frac{4}{x-1}$ убывает на промежутке $(1; +\infty)$.

Чтобы доказать, что функция убывает на заданном промежутке, нужно показать, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.
Возьмем $x_1, x_2 \in (1; +\infty)$ и пусть $x_1 < x_2$.
Рассмотрим разность $f(x_1) - f(x_2)$:
$f(x_1) - f(x_2) = \frac{4}{x_1-1} - \frac{4}{x_2-1} = \frac{4(x_2-1) - 4(x_1-1)}{(x_1-1)(x_2-1)} = \frac{4x_2 - 4 - 4x_1 + 4}{(x_1-1)(x_2-1)} = \frac{4(x_2 - x_1)}{(x_1-1)(x_2-1)}$.
Оценим знак полученного выражения:
1. Так как $x_1 < x_2$, то $x_2 - x_1 > 0$. Числитель $4(x_2 - x_1)$ положителен.
2. Так как $x_1$ и $x_2$ принадлежат промежутку $(1; +\infty)$, то $x_1 > 1$ и $x_2 > 1$. Следовательно, $x_1-1 > 0$ и $x_2-1 > 0$. Знаменатель $(x_1-1)(x_2-1)$ также положителен.
Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны, то вся дробь положительна:
$f(x_1) - f(x_2) > 0$, откуда $f(x_1) > f(x_2)$.
Мы показали, что для $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) > f(x_2)$, что по определению означает, что функция $f(x)$ убывает на промежутке $(1; +\infty)$.

Ответ: доказано.

3. Найдите $\min_{D(f)} f(x)$ и $\max_{D(f)} f(x)$, если $f(x) = 3 - \sqrt{1-x^2}$.

Сначала найдем область определения функции $D(f)$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$1 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 1 \implies -1 \le x \le 1$.
Таким образом, $D(f) = [-1; 1]$.
Теперь найдем наименьшее и наибольшее значения функции на этом отрезке.
Рассмотрим выражение $\sqrt{1-x^2}$. Его наименьшее значение равно 0 (при $x=-1$ и $x=1$), а наибольшее значение равно 1 (при $x=0$).
То есть, $0 \le \sqrt{1-x^2} \le 1$.
Функция $f(x)$ принимает наибольшее значение, когда вычитаемое $\sqrt{1-x^2}$ минимально:
$\max_{D(f)} f(x) = 3 - \min(\sqrt{1-x^2}) = 3 - 0 = 3$.
Функция $f(x)$ принимает наименьшее значение, когда вычитаемое $\sqrt{1-x^2}$ максимально:
$\min_{D(f)} f(x) = 3 - \max(\sqrt{1-x^2}) = 3 - 1 = 2$.

Ответ: $\min_{D(f)} f(x) = 2$; $\max_{D(f)} f(x) = 3$.

4. Возрастающая функция $f$ определена на множестве $R$. Возрастающей или убывающей является функция $f(g(x))$, если $g(x) = 3 - 2x$?

Нам дано, что функция $f$ является возрастающей. Это означает, что для любых $a < b$ выполняется неравенство $f(a) < f(b)$.
Функция $g(x) = 3 - 2x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом $k=-2$, следовательно, она является убывающей на всей числовой прямой. Это означает, что для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $g(x_1) > g(x_2)$.
Рассмотрим сложную функцию $h(x) = f(g(x))$. Возьмем любые $x_1, x_2 \in R$ такие, что $x_1 < x_2$.
Так как $g(x)$ — убывающая, то $g(x_1) > g(x_2)$.
Обозначим $a = g(x_2)$ и $b = g(x_1)$. Тогда мы имеем $a < b$.
Так как $f$ — возрастающая функция, то из $a < b$ следует, что $f(a) < f(b)$.
Подставив обратно, получаем $f(g(x_2)) < f(g(x_1))$.
Таким образом, для $x_1 < x_2$ мы получили $h(x_1) > h(x_2)$. Это, по определению, означает, что функция $h(x) = f(g(x))$ является убывающей.

Ответ: убывающей.

5. Решите уравнение $x^3 + 2\sqrt{2x+5} = 14$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$2x+5 \ge 0 \implies 2x \ge -5 \implies x \ge -2.5$.
Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + 2\sqrt{2x+5}$.
Функция $y_1 = x^3$ является возрастающей на всей числовой прямой.
Функция $y_2 = \sqrt{t}$ является возрастающей при $t \ge 0$. Так как $t = 2x+5$ является возрастающей функцией, то и их композиция $y_3 = \sqrt{2x+5}$ является возрастающей на своей области определения. Функция $y_4 = 2\sqrt{2x+5}$ также является возрастающей.
Функция $f(x)$ представляет собой сумму двух возрастающих функций, следовательно, $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[-2.5; +\infty)$.
Поскольку функция $f(x)$ строго монотонна, уравнение $f(x) = 14$ может иметь не более одного корня.
Попробуем найти корень методом подбора. Проверим целые значения $x$ из ОДЗ.
Пусть $x=2$:
$2^3 + 2\sqrt{2 \cdot 2 + 5} = 8 + 2\sqrt{4+5} = 8 + 2\sqrt{9} = 8 + 2 \cdot 3 = 8 + 6 = 14$.
$14 = 14$.
Таким образом, $x=2$ является корнем уравнения. Так как корень может быть только один, то других корней нет.

Ответ: $2$.