Номер 8, страница 8 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельные работы. Вариант 1 - номер 8, страница 8.

Условие.

Самостоятельная работа № 8

Решение квадратных неравенств

1. Решите неравенство:

1) $x^2 + 5x - 36 < 0$

2) $2x^2 - 3x + 4 > 0$

3) $9x^2 - 6x + 1 \le 0$

2. Найдите область определения функции

$y = \sqrt{x^2 - 2x - 35} + \frac{3x + 2}{\sqrt{27 - 3x}}$

3. Решите неравенство $|x^2 - 3| > x + 3$.

4. При каких значениях параметра $a$ неравенство $ax^2 + 8x - a + 10 > 0$ выполняется при всех действительных значениях $x$?

Решение.

1. Решите неравенство:

1) $x^2 + 5x - 36 < 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 5x - 36 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-5 - 13}{2} = -9$, $x_2 = \frac{-5 + 13}{2} = 4$.

Графиком функции $y = x^2 + 5x - 36$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Неравенство $x^2 + 5x - 36 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Ответ: $(-9, 4)$.

2) $2x^2 - 3x + 4 > 0$

Рассмотрим соответствующее уравнение $2x^2 - 3x + 4 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23$.

Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), а старший коэффициент положителен ($a=2>0$), то парабола $y = 2x^2 - 3x + 4$ полностью расположена выше оси Ox и не имеет с ней точек пересечения. Это означает, что выражение $2x^2 - 3x + 4$ положительно при любых действительных значениях $x$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

3) $9x^2 - 6x + 1 \le 0$

Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат: $9x^2 - 6x + 1 = (3x-1)^2$.

Неравенство можно переписать в виде $(3x-1)^2 \le 0$.

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $(3x-1)^2 \ge 0$. Следовательно, неравенство $(3x-1)^2 \le 0$ может выполняться только в случае равенства нулю.

$(3x-1)^2 = 0 \Rightarrow 3x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

2. Найдите область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 2x - 35} + \frac{3x+2}{\sqrt{27-3x}}$

Область определения функции (ОДЗ) определяется двумя условиями:

1. Выражение под первым квадратным корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 2x - 35 \ge 0$.

2. Выражение под вторым квадратным корнем (в знаменателе) должно быть строго положительным: $27 - 3x > 0$.

Решим эти неравенства в системе:

$\begin{cases} x^2 - 2x - 35 \ge 0 \\ 27 - 3x > 0 \end{cases}$

Для первого неравенства $x^2 - 2x - 35 \ge 0$ найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 35 = 0$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 = 12^2$.
$x_1 = \frac{2 - 12}{2} = -5$, $x_2 = \frac{2 + 12}{2} = 7$.
Ветви параболы направлены вверх, значит решение неравенства: $x \in (-\infty, -5] \cup [7, +\infty)$.

Для второго неравенства $27 - 3x > 0$:
$-3x > -27$
$x < 9$, то есть $x \in (-\infty, 9)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty, -5] \cup [7, +\infty)) \cap (-\infty, 9)$.

Пересечение дает объединение двух интервалов: $(-\infty, -5]$ и $[7, 9)$.

Ответ: $(-\infty, -5] \cup [7, 9)$.

3. Решите неравенство $|x^2 - 3| > x + 3$

Неравенство равносильно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} x+3 < 0 \\ |x^2-3| > x+3 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ (x^2-3)^2 > (x+3)^2 \end{cases}$

Рассмотрим случай 1: $x + 3 < 0 \Rightarrow x < -3$. В этом случае левая часть неравенства $|x^2 - 3|$ неотрицательна, а правая $x+3$ отрицательна. Неравенство верно для всех $x < -3$.

Рассмотрим случай 2: $x + 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$. Так как обе части неотрицательны, можно возвести их в квадрат:

$(x^2 - 3)^2 > (x + 3)^2$

$(x^2 - 3)^2 - (x + 3)^2 > 0$

Применим формулу разности квадратов:

$(x^2 - 3 - (x+3))(x^2 - 3 + (x+3)) > 0$

$(x^2 - x - 6)(x^2 + x) > 0$

Разложим на множители: $(x-3)(x+2)x(x+1) > 0$.

Решим методом интервалов. Корни: $-2, -1, 0, 3$. Нанесем их на числовую ось и определим знаки на полученных интервалах:

Знаки: + на $(-\infty, -2)$, - на $(-2, -1)$, + на $(-1, 0)$, - на $(0, 3)$, + на $(3, +\infty)$.

Решением является $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, 0) \cup (3, +\infty)$.

Учтем условие $x \ge -3$: $[-3, -2) \cup (-1, 0) \cup (3, +\infty)$.

Объединим решения обоих случаев: $(-\infty, -3) \cup [-3, -2) \cup (-1, 0) \cup (3, +\infty)$.

Итоговое решение: $(-\infty, -2) \cup (-1, 0) \cup (3, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -2) \cup (-1, 0) \cup (3, +\infty)$.

4. При каких значениях параметра $a$ неравенство $ax^2 + 8x - a + 10 > 0$ выполняется при всех действительных значениях $x$?

1. Рассмотрим случай, когда $a=0$. Неравенство становится линейным: $8x - 0 + 10 > 0 \Rightarrow 8x > -10 \Rightarrow x > -1.25$. Это неравенство выполняется не для всех действительных $x$, поэтому $a=0$ не является решением.

2. Рассмотрим случай, когда $a \ne 0$. В этом случае левая часть является квадратичной функцией. Чтобы неравенство $ax^2 + 8x - a + 10 > 0$ выполнялось для всех $x$, необходимо, чтобы график этой функции (парабола) был полностью расположен выше оси Ox. Это возможно при одновременном выполнении двух условий:

а) Ветви параболы должны быть направлены вверх, то есть старший коэффициент должен быть положителен: $a > 0$.

б) Парабола не должна иметь точек пересечения с осью Ox, то есть соответствующее квадратное уравнение $ax^2 + 8x - a + 10 = 0$ не должно иметь действительных корней. Это означает, что его дискриминант должен быть отрицателен: $D < 0$.

Найдем дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot a \cdot (-a + 10) = 64 + 4a^2 - 40a$.

Решим неравенство $D < 0$ относительно $a$:

$4a^2 - 40a + 64 < 0$

Разделим обе части на 4:

$a^2 - 10a + 16 < 0$

Найдем корни уравнения $a^2 - 10a + 16 = 0$. По теореме Виета, корни $a_1=2$ и $a_2=8$.

Так как ветви параболы $y=a^2 - 10a + 16$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $2 < a < 8$.

Объединим оба условия в систему:

$\begin{cases} a > 0 \\ 2 < a < 8 \end{cases}$

Пересечение этих условий дает интервал $a \in (2, 8)$.

Ответ: $(2, 8)$.