Номер 1, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей - номер 1, страница 76.

Условие.

1. Найдите значение выражения:

1) $\frac{6P_{11}-P_{10}}{13P_9}$;

2) $\frac{C_7^4}{A_6^3}$.

Решение.

1) Найдем значение выражения $ \frac{6P_{11} - P_{10}}{13P_9} $.

Число перестановок из $n$ элементов, обозначаемое $P_n$, вычисляется по формуле $P_n = n!$, где $n!$ (n-факториал) – это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

Перепишем исходное выражение, используя определение факториала:

$ \frac{6 \cdot 11! - 10!}{13 \cdot 9!} $

Для упрощения дроби представим старшие факториалы ($11!$ и $10!$) через младший ($9!$), используя свойство $n! = n \cdot (n-1)!$:

$11! = 11 \cdot 10 \cdot 9!$

$10! = 10 \cdot 9!$

Подставим эти выражения в числитель дроби:

$ \frac{6 \cdot (11 \cdot 10 \cdot 9!) - (10 \cdot 9!)}{13 \cdot 9!} $

Теперь в числителе можно вынести общий множитель $9!$ за скобки:

$ \frac{9! \cdot (6 \cdot 11 \cdot 10 - 10)}{13 \cdot 9!} $

Сократим общий множитель $9!$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{6 \cdot 11 \cdot 10 - 10}{13} $

Выполним арифметические действия в числителе:

$ \frac{660 - 10}{13} = \frac{650}{13} $

Разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{650}{13} = 50 $

Ответ: 50

2) Найдем значение выражения $ \frac{C_7^4}{A_6^3} $.

Это выражение содержит число сочетаний ($C_n^k$) и число размещений ($A_n^k$). Вспомним их формулы:

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется как $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Число размещений из $n$ элементов по $k$ вычисляется как $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Сначала вычислим значение числителя $C_7^4$:

$ C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} $

Сокращаем $4!$ и вычисляем оставшееся выражение:

$ C_7^4 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{210}{6} = 35 $

Теперь вычислим значение знаменателя $A_6^3$:

$ A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} $

Сокращаем $3!$ и вычисляем произведение:

$ A_6^3 = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120 $

Наконец, найдем значение исходного выражения, подставив вычисленные значения:

$ \frac{C_7^4}{A_6^3} = \frac{35}{120} $

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 35 и 120 равен 5:

$ \frac{35 \div 5}{120 \div 5} = \frac{7}{24} $

Ответ: $ \frac{7}{24} $