Номер 3, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей - номер 3, страница 76.

Условие.

3. Сколько нечётных четырёхзначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 5 и 6?

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся комбинаторным правилом умножения. Нам нужно составить четырёхзначное число, которое удовлетворяет трём условиям:

• Число должно быть нечётным.
• Все цифры в числе должны быть различны.
• Число составляется из цифр {1, 2, 3, 5, 6}.

Всего нам дано 5 цифр. Из них нечётными являются 1, 3, 5 (всего 3 цифры), а чётными — 2, 6 (всего 2 цифры).

Будем формировать число, выбирая цифры для каждого из четырёх разрядов (тысячи, сотни, десятки, единицы). Начнём с разряда, на который наложено самое строгое ограничение.

1. Выбор цифры для разряда единиц. Чтобы число было нечётным, его последняя цифра должна быть нечётной. У нас есть 3 варианта для этой позиции: 1, 3 или 5.
2. Выбор цифры для разряда тысяч. Всего у нас 5 цифр. Одну мы уже использовали для разряда единиц. Так как все цифры в числе должны быть различны, для первой цифры (разряда тысяч) остаётся $5 - 1 = 4$ варианта.
3. Выбор цифры для разряда сотен. Две цифры уже заняты (для единиц и тысяч). Следовательно, остаётся $5 - 2 = 3$ варианта для разряда сотен.
4. Выбор цифры для разряда десятков. Три цифры уже использованы. Для разряда десятков остаётся $5 - 3 = 2$ варианта.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:

$N = (\text{варианты для единиц}) \times (\text{варианты для тысяч}) \times (\text{варианты для сотен}) \times (\text{варианты для десятков})$

$N = 3 \times 4 \times 3 \times 2 = 72$

Таким образом, можно составить 72 различных нечётных четырёхзначных числа из заданных цифр.

Ответ: 72