Номер 3, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 7. Числовые последовательности - номер 3, страница 77.

Условие.

3. При каком значении $x$ значения выражений $x + 1$, $x + 5$ и $2x + 4$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Решение.

Пусть выражения $x+1$, $x+5$ и $2x+4$ являются последовательными членами геометрической прогрессии. Обозначим их $b_1 = x+1$, $b_2 = x+5$ и $b_3 = 2x+4$.

Для трех последовательных членов геометрической прогрессии выполняется характеристическое свойство: квадрат среднего члена равен произведению его соседей.

$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим в это равенство данные нам выражения:

$(x + 5)^2 = (x + 1)(2x + 4)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Раскроем скобки в обеих частях.

Левая часть, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(x + 5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25$

Правая часть, перемножая многочлены:

$(x + 1)(2x + 4) = 2x^2 + 4x + 2x + 4 = 2x^2 + 6x + 4$

Приравняем левую и правую части:

$x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 6x + 4$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$0 = (2x^2 - x^2) + (6x - 10x) + (4 - 25)$

$x^2 - 4x - 21 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Мы получили два возможных значения для $x$. Теперь найдем члены прогрессии для каждого из этих значений.

В случае, если $x=7$, получаем следующие члены прогрессии:

Первый член: $b_1 = x + 1 = 7 + 1 = 8$.

Второй член: $b_2 = x + 5 = 7 + 5 = 12$.

Третий член: $b_3 = 2x + 4 = 2(7) + 4 = 14 + 4 = 18$.

Получилась последовательность 8, 12, 18. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.

В случае, если $x=-3$, получаем следующие члены прогрессии:

Первый член: $b_1 = x + 1 = -3 + 1 = -2$.

Второй член: $b_2 = x + 5 = -3 + 5 = 2$.

Третий член: $b_3 = 2x + 4 = 2(-3) + 4 = -6 + 4 = -2$.

Получилась последовательность -2, 2, -2. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{2}{-2} = -1$.

Ответ: Заданные выражения являются последовательными членами геометрической прогрессии при $x=7$ или $x=-3$.
При $x=7$ члены прогрессии: 8, 12, 18.
При $x=-3$ члены прогрессии: -2, 2, -2.