Номер 2, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 8. Итоговая - номер 2, страница 78.

Условие.

2. Решите неравенство $\frac{x^2 + 6x + 8}{x^2 - 4x + 3} \le 0$.

Решение.

Для решения данного рационального неравенства воспользуемся методом интервалов.

1. Разложение числителя и знаменателя на множители

Сначала найдём корни числителя, решив квадратное уравнение $x^2 + 6x + 8 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -6$

$x_1 \cdot x_2 = 8$

Корни уравнения: $x_1 = -4$ и $x_2 = -2$.

Таким образом, числитель можно разложить на множители: $(x+4)(x+2)$.

Далее найдём корни знаменателя, решив уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$.

По теореме Виета:

$x_3 + x_4 = 4$

$x_3 \cdot x_4 = 3$

Корни уравнения: $x_3 = 1$ и $x_4 = 3$.

Таким образом, знаменатель можно разложить на множители: $(x-1)(x-3)$.

2. Решение методом интервалов

Перепишем исходное неравенство в новом виде:

$$ \frac{(x+4)(x+2)}{(x-1)(x-3)} \le 0 $$

Отметим на числовой оси нули числителя и знаменателя. Нули числителя, $x=-4$ и $x=-2$, являются решениями неравенства (так как неравенство нестрогое, $\le$), поэтому мы отмечаем их закрашенными точками. Нули знаменателя, $x=1$ и $x=3$, не входят в область допустимых значений (знаменатель не может быть равен нулю), поэтому мы отмечаем их выколотыми точками.

Полученные точки разбивают числовую ось на пять интервалов. Определим знак выражения в каждом из них. Для этого возьмём пробную точку из крайнего правого интервала, например $x=5$.

$$ \frac{(5+4)(5+2)}{(5-1)(5-3)} = \frac{9 \cdot 7}{4 \cdot 2} > 0 $$

Так как все корни имеют кратность 1 (нечётную), знаки в соседних интервалах будут чередоваться.

• Интервал $(3; +\infty)$: +
• Интервал $(1; 3)$: −
• Интервал $(-2; 1)$: +
• Интервал $(-4; -2)$: −
• Интервал $(-\infty; -4)$: +

3. Формирование ответа

Согласно условию, нам нужно найти значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это соответствует интервалам со знаком "минус". Учитывая, что точки $-4$ и $-2$ включаются в решение, а точки $1$ и $3$ исключаются, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in [-4; -2] \cup (1; 3)$.