Номер 7, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 8. Итоговая - номер 7, страница 78.

Условие.

7. Докажите что если $a > 0$ и $b > 0$, то $(1 + \frac{1}{a})(4 + \frac{1}{b})(1 + 16ab) \ge 64.$

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенством Коши). Для любых двух положительных чисел $x$ и $y$ справедливо неравенство $x+y \ge 2\sqrt{xy}$.

Поскольку по условию задачи $a > 0$ и $b > 0$, все слагаемые в скобках, а значит и сами скобки, являются положительными. Применим неравенство Коши последовательно к каждому из трех множителей в левой части исходного неравенства.

1. Для первого множителя $(1 + \frac{1}{a})$:

$1 + \frac{1}{a} \ge 2\sqrt{1 \cdot \frac{1}{a}} = \frac{2}{\sqrt{a}}$

2. Для второго множителя $(4 + \frac{1}{b})$:

$4 + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt{4 \cdot \frac{1}{b}} = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{b}} = \frac{4}{\sqrt{b}}$

3. Для третьего множителя $(1 + 16ab)$:

$1 + 16ab \ge 2\sqrt{1 \cdot 16ab} = 2 \cdot 4\sqrt{ab} = 8\sqrt{ab}$

Так как все части полученных неравенств положительны, мы можем их перемножить, при этом знак неравенства сохранится:

$(1 + \frac{1}{a})(4 + \frac{1}{b})(1 + 16ab) \ge \left(\frac{2}{\sqrt{a}}\right) \cdot \left(\frac{4}{\sqrt{b}}\right) \cdot (8\sqrt{ab})$

Теперь упростим правую часть полученного неравенства:

$\frac{2}{\sqrt{a}} \cdot \frac{4}{\sqrt{b}} \cdot 8\sqrt{ab} = \frac{2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \sqrt{ab}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} = \frac{64\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}} = 64$

Таким образом, мы получили, что:

$(1 + \frac{1}{a})(4 + \frac{1}{b})(1 + 16ab) \ge 64$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.