Номер 1, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 8. Итоговая - номер 1, страница 78.

Условие.

1. Постройте график функции $f(x) = -x^2 + 6x$. Используя график, найдите:

1) область значений функции;

2) промежуток убывания функции;

3) множество решений неравенства $f(x) < 5$.

Решение.

Для построения графика функции $f(x) = -x^2 + 6x$ определим ее ключевые характеристики. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательный), ветви параболы направлены вниз.

1. Вершина параболы.
Координаты вершины $(x_0, y_0)$ находятся по формулам:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$
$y_0 = f(x_0) = f(3) = -(3)^2 + 6 \cdot 3 = -9 + 18 = 9$
Вершина параболы находится в точке $(3; 9)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY (при $x=0$):
$f(0) = -0^2 + 6 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$.
С осью OX (при $f(x)=0$):
$-x^2 + 6x = 0$
$-x(x-6) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = 6$. Точки пересечения — $(0; 0)$ и $(6; 0)$.

3. Дополнительные точки для построения.
Возьмем точки, симметричные относительно оси параболы $x=3$.
$f(1) = -1^2 + 6 \cdot 1 = 5$. Точка $(1; 5)$.
$f(5) = -5^2 + 6 \cdot 5 = -25 + 30 = 5$. Точка $(5; 5)$.

На основе этих точек можно построить график параболы. Теперь, используя график, найдем требуемые значения.

1) область значений функции;
Область значений — это все возможные значения, которые принимает функция. Так как ветви параболы направлены вниз, ее вершина $(3; 9)$ является точкой максимума. Это означает, что максимальное значение функции равно 9, а все остальные значения меньше. Таким образом, область значений функции — это промежуток от $-\infty$ до $9$ включительно.
Ответ: $(-\infty; 9]$.

2) промежуток убывания функции;
Функция убывает там, где с увеличением $x$ значение $y$ уменьшается. Для параболы с ветвями вниз это происходит на промежутке справа от ее вершины. Вершина имеет абсциссу $x=3$. Следовательно, функция убывает при $x \ge 3$.
Ответ: $[3; +\infty)$.

3) множество решений неравенства $f(x) < 5$.
Чтобы решить неравенство, найдем значения $x$, при которых график функции $f(x)$ расположен ниже прямой $y=5$. Сначала определим точки их пересечения, решив уравнение $f(x) = 5$:
$-x^2 + 6x = 5$
$-x^2 + 6x - 5 = 0$
$x^2 - 6x + 5 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. График параболы пересекает прямую $y=5$ в точках с абсциссами $1$ и $5$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, значения функции будут меньше $5$ за пределами отрезка $[1; 5]$, то есть при $x < 1$ и при $x > 5$.
Ответ: $(-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$.