Номер 6, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 7. Числовые последовательности - номер 6, страница 77.

Условие.

6. Последовательность задана рекуррентно: $a_1=3, a_2=5,$ $a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n$. Докажите, что $a_n=2^n+1$.

Решение.

Для доказательства того, что формула $a_n = 2^n + 1$ верна для последовательности, заданной рекуррентно: $a_1 = 3$, $a_2 = 5$, $a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_n$, воспользуемся методом математической индукции.

База индукции

Проверим, верна ли формула для первых двух членов последовательности, $n=1$ и $n=2$.

При $n=1$:

По условию, $a_1 = 3$.

По формуле, $a_1 = 2^1 + 1 = 2 + 1 = 3$.

Значения совпадают, значит, для $n=1$ формула верна.

При $n=2$:

По условию, $a_2 = 5$.

По формуле, $a_2 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$.

Значения совпадают, значит, для $n=2$ формула верна.

Индукционное предположение

Предположим, что формула верна для всех натуральных чисел от 1 до $k$ включительно, где $k \ge 2$. В частности, мы предполагаем, что верны равенства:

$a_k = 2^k + 1$

$a_{k-1} = 2^{k-1} + 1$

Индукционный шаг

Докажем, что из нашего предположения следует, что формула верна и для $n = k+1$, то есть, что $a_{k+1} = 2^{k+1} + 1$.

Воспользуемся рекуррентным соотношением $a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_n$. Чтобы выразить $a_{k+1}$, подставим в него $n = k-1$:

$a_{(k-1)+2} = 3a_{(k-1)+1} - 2a_{k-1}$

$a_{k+1} = 3a_k - 2a_{k-1}$

Теперь подставим в это выражение формулы для $a_k$ и $a_{k-1}$ из нашего индукционного предположения:

$a_{k+1} = 3(2^k + 1) - 2(2^{k-1} + 1)$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$a_{k+1} = 3 \cdot 2^k + 3 \cdot 1 - 2 \cdot 2^{k-1} - 2 \cdot 1$

$a_{k+1} = 3 \cdot 2^k + 3 - 2^1 \cdot 2^{k-1} - 2$

$a_{k+1} = 3 \cdot 2^k - 2^{k} + 1$

$a_{k+1} = (3 - 1) \cdot 2^k + 1$

$a_{k+1} = 2 \cdot 2^k + 1$

$a_{k+1} = 2^{k+1} + 1$

Мы получили, что формула верна и для $n = k+1$.

Поскольку база индукции верна и индукционный шаг доказан, то по принципу математической индукции формула $a_n = 2^n + 1$ верна для всех натуральных $n$.

Ответ: Доказано.