Номер 6, страница 76 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей - номер 6, страница 76.

Условие.

6. Из натуральных чисел от 1 до 37 включительно наугад выбирают семь чисел. Какова вероятность того, что среди выбранных чисел не менее двух окажутся кратными числу 4?

Решение.

Для решения этой задачи по теории вероятностей воспользуемся классическим определением вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ – общее число равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию $A$.

1. Найдем общее число исходов (n).

Всего имеется 37 натуральных чисел от 1 до 37. Мы выбираем из них 7 чисел. Порядок выбора не имеет значения, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний:

$n = C_{37}^7 = \frac{37!}{7!(37-7)!} = \frac{37!}{7!30!}$

2. Найдем число благоприятных исходов (m).

Событие $A$, вероятность которого мы ищем, заключается в том, что «среди выбранных чисел не менее двух окажутся кратными числу 4».

Прямой подсчет (2 кратных, 3 кратных, ... , 7 кратных) будет громоздким. Проще найти вероятность противоположного (дополнительного) события $\bar{A}$ и вычесть ее из 1.

$P(A) = 1 - P(\bar{A})$

Противоположное событие $\bar{A}$ заключается в том, что «среди выбранных чисел менее двух кратны 4», то есть:

• либо среди 7 чисел нет ни одного, кратного 4;
• либо среди 7 чисел есть ровно одно, кратное 4.

Сначала определим, сколько чисел от 1 до 37 кратны 4. Это числа 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36. Всего 9 чисел. Соответственно, чисел, не кратных 4, будет $37 - 9 = 28$.

Теперь посчитаем число исходов для события $\bar{A}$:

Случай 1: Нет чисел, кратных 4.
Это означает, что все 7 чисел выбраны из 28 чисел, которые не делятся на 4. Число таких способов равно:

$m_0 = C_{28}^7 = \frac{28!}{7!(28-7)!} = \frac{28!}{7!21!}$

Случай 2: Ровно одно число кратно 4.
Это означает, что 1 число выбрано из 9 чисел, кратных 4, а остальные 6 чисел выбраны из 28 чисел, не кратных 4. Число таких способов равно:

$m_1 = C_9^1 \cdot C_{28}^6 = \frac{9!}{1!8!} \cdot \frac{28!}{6!(28-6)!} = 9 \cdot \frac{28!}{6!22!}$

Общее число исходов для события $\bar{A}$ равно сумме исходов этих двух случаев: $m(\bar{A}) = m_0 + m_1 = C_{28}^7 + C_9^1 \cdot C_{28}^6$.

3. Вычислим вероятность $P(\bar{A})$.

$P(\bar{A}) = \frac{m(\bar{A})}{n} = \frac{C_{28}^7 + 9 \cdot C_{28}^6}{C_{37}^7}$

Чтобы избежать громоздких вычислений, упростим выражение, используя свойство сочетаний $C_n^k = \frac{n-k+1}{k} C_n^{k-1}$:

$C_{28}^7 = \frac{28-7+1}{7} C_{28}^6 = \frac{22}{7} C_{28}^6$

Тогда $m(\bar{A}) = \frac{22}{7} C_{28}^6 + 9 \cdot C_{28}^6 = (\frac{22}{7} + 9) C_{28}^6 = \frac{22+63}{7} C_{28}^6 = \frac{85}{7} C_{28}^6$.

$P(\bar{A}) = \frac{\frac{85}{7} C_{28}^6}{C_{37}^7} = \frac{85}{7} \cdot \frac{\frac{28!}{6!22!}}{\frac{37!}{7!30!}} = \frac{85}{7} \cdot \frac{28! \cdot 7! \cdot 30!}{6! \cdot 22! \cdot 37!} = \frac{85}{7} \cdot \frac{28! \cdot 7 \cdot 6! \cdot 30!}{6! \cdot 22! \cdot 37!} = 85 \cdot \frac{28! \cdot 30!}{22! \cdot 37!}$

$P(\bar{A}) = 85 \cdot \frac{(30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23)}{(37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29)} \cdot \frac{22!}{22!}$ - это неверный путь. Вернемся к упрощению дроби.

$P(\bar{A}) = \frac{C_{28}^7 + 9 \cdot C_{28}^6}{C_{37}^7} = \frac{\frac{28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22}{7!} + 9 \cdot \frac{28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23}{6!}}{\frac{37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31}{7!}}$

Умножим числитель и знаменатель на $7!$:

$P(\bar{A}) = \frac{(28 \cdot \ldots \cdot 22) + 9 \cdot 7 \cdot (28 \cdot \ldots \cdot 23)}{37 \cdot \ldots \cdot 31} = \frac{(28 \cdot \ldots \cdot 23) \cdot 22 + 63 \cdot (28 \cdot \ldots \cdot 23)}{37 \cdot \ldots \cdot 31}$

$P(\bar{A}) = \frac{(28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23) \cdot (22 + 63)}{37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31} = \frac{28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 85}{37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31}$

Сократим дробь:

$\frac{28}{35} = \frac{4}{5}$; $\frac{24}{36} = \frac{2}{3}$; $\frac{85}{34} = \frac{5 \cdot 17}{2 \cdot 17} = \frac{5}{2}$; $\frac{27}{33} = \frac{9}{11}$; $\frac{26}{32} = \frac{13}{16}$

$P(\bar{A}) = \frac{4 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 25 \cdot 2 \cdot 23 \cdot 5}{37 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 16 \cdot 31} = \frac{3 \cdot 13 \cdot 25 \cdot 23}{37 \cdot 11 \cdot 4 \cdot 31} = \frac{22425}{50468}$

4. Найдем искомую вероятность $P(A)$.

$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{22425}{50468} = \frac{50468 - 22425}{50468} = \frac{28043}{50468}$

Ответ: $\frac{28043}{50468}$