Номер 2, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 7. Числовые последовательности - номер 2, страница 77.

Условие.

2. Первый и шестой члены геометрической прогрессии соответственно равны 2 и -64. Найдите сумму десяти первых членов этой прогрессии.

Решение.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $b_1$, а ее знаменатель как $q$.

Из условия задачи мы знаем:
Первый член $b_1 = 2$.
Шестой член $b_6 = -64$.

Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии имеет вид:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Используем эту формулу для шестого члена, чтобы найти знаменатель $q$:
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1}$
$-64 = 2 \cdot q^5$

Разделим обе части уравнения на 2:
$q^5 = \frac{-64}{2}$
$q^5 = -32$

Отсюда находим $q$:
$q = \sqrt[5]{-32} = -2$

Теперь необходимо найти сумму десяти первых членов прогрессии, $S_{10}$.
Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим известные значения $b_1 = 2$, $q = -2$ и $n = 10$ в формулу:
$S_{10} = \frac{2 \cdot ((-2)^{10} - 1)}{-2 - 1}$

Выполним вычисления:
$(-2)^{10} = 1024$
$S_{10} = \frac{2 \cdot (1024 - 1)}{-3} = \frac{2 \cdot 1023}{-3}$

$S_{10} = 2 \cdot (-\frac{1023}{3}) = 2 \cdot (-341) = -682$

Ответ: -682