Номер 5, страница 77 - гдз по алгебре 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольные работы. Вариант 2. Контрольная работа № 7. Числовые последовательности - номер 5, страница 77.

Условие.

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 8, которые больше 50 и меньше 180.

Решение.

Искомые числа представляют собой последовательность натуральных чисел, кратных 8, которые больше 50 и меньше 180. Эта последовательность является арифметической прогрессией.

Сначала определим первый член прогрессии ($a_1$). Это наименьшее число, большее 50, которое делится на 8. $50 \div 8 = 6$ (остаток 2). Ближайшее большее число, кратное 8, будет $8 \cdot (6+1) = 56$. Итак, $a_1 = 56$.

Теперь найдем последний член прогрессии ($a_n$). Это наибольшее число, меньшее 180, которое делится на 8. $180 \div 8 = 22$ (остаток 4). Следовательно, наибольшее число, кратное 8 и меньшее 180, будет $8 \cdot 22 = 176$. Итак, $a_n = 176$.

Разность этой арифметической прогрессии $d = 8$. Найдем количество членов ($n$) в этой прогрессии, используя формулу n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим известные значения: $176 = 56 + (n-1) \cdot 8$ $176 - 56 = (n-1) \cdot 8$ $120 = (n-1) \cdot 8$ $n-1 = \frac{120}{8}$ $n-1 = 15$ $n = 16$ Таким образом, в данной последовательности 16 чисел.

Для нахождения суммы всех этих чисел воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. $S_{16} = \frac{56 + 176}{2} \cdot 16$ $S_{16} = \frac{232}{2} \cdot 16$ $S_{16} = 116 \cdot 16$ $S_{16} = 1856$

Ответ: 1856