Номер 6, страница 360 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Проектная работа - номер 6, страница 360.

Условие.

6. Цепные дроби

Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы

1) Арнольд В. И. Цепные дроби. — М. : МЦНМО, 2000.

2) Бескин Н. М. Бесконечные цепные дроби // Квант. — 1970. — № 8.

3) Бескин Н. М. Цепные дроби // Квант. — 1970. — № 1.

4) Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М. : Высшая школа, 1999.

5) Устинов А. Цепные дроби вокруг нас // Квант. — 2010. — № 2.

6) Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М. : ГИФМЛ, 1960.

7) http://ru.wikipedia.org/wiki/ Непрерывная дробь

Решение.

1)

Цепная (или непрерывная) дробь — это математическое выражение, представляющее число в виде последовательности вложенных дробей. Любое действительное число $\alpha$ можно представить в виде цепной дроби:

$\alpha = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3 + \dots}}}$

где $a_0$ — целое число, а все последующие $a_k$ (при $k \ge 1$) — натуральные числа (положительные целые). Числа $a_0, a_1, a_2, \dots$ называются неполными частными или элементами цепной дроби. Для краткости используется запись $[a_0; a_1, a_2, a_3, \dots]$.

Например, разложим число $\frac{95}{41}$ в цепную дробь:

$\frac{95}{41} = 2 + \frac{13}{41} = 2 + \frac{1}{\frac{41}{13}} = 2 + \frac{1}{3 + \frac{2}{13}} = 2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{\frac{13}{2}}} = 2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{6 + \frac{1}{2}}}$

В краткой форме это записывается как $[2; 3, 6, 2]$.

Ответ: Цепная дробь — это представление числа в виде "многоэтажной" дроби вида $[a_0; a_1, a_2, \dots]$, где $a_0$ — целое, а остальные элементы $a_k$ — натуральные числа.

2)

Цепные дроби делятся на два основных типа: конечные и бесконечные.

• Конечные цепные дроби состоят из конечного числа элементов. Согласно фундаментальной теореме, любое рациональное число (т.е. число, представимое в виде дроби $p/q$, где $p$ и $q$ — целые) представляется в виде конечной цепной дроби, и наоборот. Процесс разложения, описанный в предыдущем пункте, для рациональных чисел всегда заканчивается.
• Бесконечные цепные дроби состоят из бесконечного числа элементов. Они представляют иррациональные числа. Например, разложение квадратного корня из двух даёт бесконечную периодическую цепную дробь: $\sqrt{2} = [1; 2, 2, 2, \dots] = [1; (2)]$. По теореме Лагранжа, любое число, представимое в виде бесконечной периодической цепной дроби, является квадратичной иррациональностью (т.е. корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами), и наоборот.

Ответ: Конечные цепные дроби соответствуют рациональным числам, а бесконечные — иррациональным. Бесконечные периодические дроби соответствуют квадратичным иррациональностям.

3)

Алгоритм разложения рационального числа $\frac{p}{q}$ в цепную дробь полностью эквивалентен алгоритму Евклида для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел $p$ и $q$. Неполные частные, получаемые в ходе алгоритма Евклида, и являются элементами цепной дроби.

Продемонстрируем это на примере $\frac{95}{41}$:

1. $95 = \mathbf{2} \cdot 41 + 13$
2. $41 = \mathbf{3} \cdot 13 + 2$
3. $13 = \mathbf{6} \cdot 2 + 1$
4. $2 = \mathbf{2} \cdot 1 + 0$

Целочисленные частные, полученные на каждом шаге (2, 3, 6, 2), и есть элементы цепной дроби. Таким образом, $\frac{95}{41} = [2; 3, 6, 2]$. Этот процесс всегда завершается, когда остаток становится равным нулю, что доказывает конечность цепной дроби для любого рационального числа.

Ответ: Для разложения рационального числа в цепную дробь применяется алгоритм Евклида; получаемые в нём неполные частные являются элементами этой дроби.

4)

Подходящие дроби — это конечные отрезки цепной дроби, которые дают последовательные рациональные приближения к исходному числу. Для цепной дроби $[a_0; a_1, a_2, \dots]$ подходящие дроби $\frac{P_k}{Q_k}$ вычисляются по рекуррентным формулам:

$P_k = a_k P_{k-1} + P_{k-2}$

$Q_k = a_k Q_{k-1} + Q_{k-2}$

с начальными значениями $P_{-1} = 1, P_{-2} = 0$ и $Q_{-1} = 0, Q_{-2} = 1$.

Найдём подходящие дроби для $\sqrt{2} = [1; 2, 2, 2, \dots]$:

• $\frac{P_0}{Q_0} = [1] = \frac{1}{1}$
• $\frac{P_1}{Q_1} = [1; 2] = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$
• $\frac{P_2}{Q_2} = [1; 2, 2] = 1 + \frac{1}{2+\frac{1}{2}} = \frac{7}{5} = 1.4$
• $\frac{P_3}{Q_3} = [1; 2, 2, 2] = 1 + \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}} = \frac{17}{12} \approx 1.4167$

Эти дроби всё точнее приближают значение $\sqrt{2} \approx 1.4142$. Подходящие дроби обладают свойством наилучшего приближения: никакая другая дробь с меньшим или равным знаменателем не может приблизить число лучше.

Ответ: Подходящие дроби — это наилучшие рациональные приближения числа, получаемые "обрыванием" его бесконечной цепной дроби на разных шагах.

5)

Цепные дроби наглядно демонстрируют связь между числами и геометрией, а также их применение для приближений. Классическим примером является золотое сечение $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Оно удовлетворяет уравнению $\phi = 1 + \frac{1}{\phi}$. Подставляя в это уравнение само себя, получаем самую простую и красивую бесконечную цепную дробь:

$\phi = [1; 1, 1, 1, \dots]$

Подходящие дроби для золотого сечения — это отношения последовательных чисел Фибоначчи: $\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \dots$.

Другой знаменитый пример — число $\pi$. Его разложение в цепную дробь выглядит так: $\pi = [3; 7, 15, 1, 292, \dots]$. Подходящие дроби дают известные исторические приближения:

• $[3; 7] = 3 + \frac{1}{7} = \frac{22}{7} \approx 3.1428$ (приближение Архимеда)
• $[3; 7, 15, 1] = \frac{355}{113} \approx 3.1415929$ (очень точное приближение Цзу Чунчжи)

Большой элемент в цепной дроби (как 292 для $\pi$) означает, что предыдущая подходящая дробь является исключительно хорошим приближением.

Ответ: Цепные дроби позволяют находить удивительно точные и исторически значимые рациональные приближения для иррациональных констант, таких как $\phi$ и $\pi$.

6)

Теория цепных дробей содержит глубокие результаты о качестве диофантовых приближений. Например, для любого иррационального $\alpha$ и его подходящей дроби $\frac{P_k}{Q_k}$ выполняется неравенство:

$|\alpha - \frac{P_k}{Q_k}| < \frac{1}{Q_k^2}$

Это показывает, что подходящие дроби обеспечивают очень хорошее приближение. Теорема Гурвица уточняет этот результат: для любого иррационального $\alpha$ существует бесконечно много дробей $\frac{p}{q}$, таких что $|\alpha - \frac{p}{q}| < \frac{1}{\sqrt{5}q^2}$. Константа $\frac{1}{\sqrt{5}}$ является наилучшей возможной.

Одним из важнейших приложений цепных дробей является решение диофантовых уравнений. В частности, все целочисленные решения уравнения Пелля $x^2 - Dy^2 = 1$ (где $D$ — целое положительное число, не являющееся полным квадратом) могут быть найдены среди числителей и знаменателей подходящих дробей для цепной дроби числа $\sqrt{D}$.

Ответ: Цепные дроби являются основным инструментом в теории диофантовых приближений, позволяя оценивать точность рациональных приближений и решать некоторые виды диофантовых уравнений, например, уравнение Пелля.

7)

Цепные дроби — это классический раздел теории чисел, история которого восходит к "Началам" Евклида, где по сути был описан алгоритм их построения для рациональных чисел. Значительный вклад в развитие теории внесли такие математики, как Леонард Эйлер, Жозеф Луи Лагранж, Карл Фридрих Гаусс, А. Я. Хинчин и В. И. Арнольд. Они показали связь цепных дробей с анализом, геометрией, динамическими системами и другими областями математики.

Сегодня цепные дроби продолжают играть важную роль в теоретической и прикладной математике, включая криптографию, компьютерную науку (для эффективного вычисления рациональных приближений) и даже физику (например, в исследовании квазикристаллов). Интернет-ресурсы, такие как Википедия, предоставляют доступную информацию по этой теме, дополняя классические монографии и статьи.

Ответ: Цепные дроби, имеющие богатую историю, остаются фундаментальным и активно используемым понятием в современной математике, связывающим теорию чисел с множеством других дисциплин.