Номер 38.11, страница 356 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 38. Характеристики случайной величины - номер 38.11, страница 356.

Условие.

38.11. Числа $p$ и $8p^2+1$ — простые. Найдите $p$.

Решение.

По условию, $p$ и $8p^2 + 1$ являются простыми числами. Проанализируем возможные значения $p$.

Простые числа — это 2, 3, 5, 7, 11 и так далее. Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1: $p=2$

Подставим значение $p=2$ в выражение $8p^2 + 1$:

$8 \cdot 2^2 + 1 = 8 \cdot 4 + 1 = 32 + 1 = 33$

Число 33 не является простым, так как оно делится на 3 и на 11 ($33 = 3 \cdot 11$). Следовательно, $p=2$ не является решением.

Случай 2: $p=3$

Подставим значение $p=3$ в выражение $8p^2 + 1$:

$8 \cdot 3^2 + 1 = 8 \cdot 9 + 1 = 72 + 1 = 73$

Число 73 является простым. Так как оба числа, $p=3$ и $8p^2+1=73$, — простые, то $p=3$ удовлетворяет условию задачи.

Случай 3: $p$ — простое число, большее 3

Любое простое число $p$, которое больше 3, не делится на 3. Следовательно, при делении на 3 оно дает в остатке либо 1, либо 2. Рассмотрим квадрат такого числа по модулю 3:

• Если $p \equiv 1 \pmod{3}$, то $p^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
• Если $p \equiv 2 \pmod{3}$, то $p^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$.

Таким образом, для любого простого числа $p > 3$ квадрат этого числа $p^2$ при делении на 3 дает в остатке 1.

Теперь рассмотрим выражение $8p^2 + 1$ по модулю 3:

$8p^2 + 1 \equiv (8 \cdot p^2 + 1) \pmod{3}$

Поскольку $p^2 \equiv 1 \pmod{3}$, мы можем подставить это в сравнение:

$8 \cdot 1 + 1 = 9 \equiv 0 \pmod{3}$

Это означает, что для любого простого числа $p > 3$ число $8p^2+1$ делится на 3. Так как при $p > 3$ (наименьшее такое простое $p=5$) значение выражения $8p^2+1$ будет больше 3 ($8 \cdot 5^2 + 1 = 201$), то оно является составным числом.

Следовательно, единственное простое число, которое удовлетворяет условию задачи, — это $p=3$.

Ответ: 3.