Номер 38.5, страница 355 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 38. Характеристики случайной величины - номер 38.5, страница 355.

Условие.

38.5. Таблица распределения вероятностей выигрыша в азартной игре

имеет вид:

Величина выигрыша, р.	0	100	400	1600
Вероятность, %	75	21	3	1

Цена билета для участия в игре составляет 50 р. Стоит ли играть в такую игру?

Решение.

Чтобы определить, стоит ли играть в игру, нужно найти математическое ожидание выигрыша и сравнить его со стоимостью билета. Математическое ожидание (или средний ожидаемый выигрыш) — это сумма произведений всех возможных выигрышей на их вероятности. Если математическое ожидание выигрыша больше цены билета, то игра выгодна, в противном случае — нет.

Пусть $X$ — случайная величина, равная величине выигрыша. Математическое ожидание $E(X)$ вычисляется по формуле:$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$,где $x_i$ — возможные значения выигрыша, а $p_i$ — соответствующие им вероятности.

Из таблицы имеем следующие данные:

• Выигрыш $x_1 = 0$ р. с вероятностью $p_1 = 75\% = 0.75$
• Выигрыш $x_2 = 100$ р. с вероятностью $p_2 = 21\% = 0.21$
• Выигрыш $x_3 = 400$ р. с вероятностью $p_3 = 3\% = 0.03$
• Выигрыш $x_4 = 1600$ р. с вероятностью $p_4 = 1\% = 0.01$

Теперь рассчитаем математическое ожидание выигрыша:$E(X) = (0 \cdot 0.75) + (100 \cdot 0.21) + (400 \cdot 0.03) + (1600 \cdot 0.01)$$E(X) = 0 + 21 + 12 + 16 = 49$ р.

Итак, средний ожидаемый выигрыш в этой игре составляет 49 рублей.Цена билета для участия в игре — 50 рублей.

Сравним средний выигрыш и цену билета:$49 \text{ р.} < 50 \text{ р.}$

Поскольку математическое ожидание выигрыша (49 р.) меньше, чем цена билета (50 р.), то в среднем игрок будет терять $50 - 49 = 1$ рубль за каждую игру. Следовательно, с математической точки зрения играть в такую игру невыгодно.

Ответ: играть в такую игру не стоит, так как средний ожидаемый выигрыш (49 рублей) меньше стоимости билета (50 рублей).