Вопросы?, страница 354 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 38. Характеристики случайной величины - страница 354.

Условие.

1. Что называют математическим ожиданием случайной величины?

2. Чему равно математическое ожидание числа успехов в схеме Бернулли?

3. Чему равно математическое ожидание суммы случайных величин?

4. Что называют дисперсией случайной величины?

5. Что называют стандартным отклонением случайной величины?

Решение.

1. Что называют математическим ожиданием случайной величины?
Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на соответствующие им вероятности. Эта величина характеризует среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины.
Если случайная величина $X$ может принимать значения $x_1, x_2, \ldots, x_n$ с вероятностями $p_1, p_2, \ldots, p_n$ соответственно, то её математическое ожидание $M(X)$ вычисляется по формуле:
$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \ldots + x_n p_n$.
Ответ: Математическое ожидание – это сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности, $M(X) = \sum x_i p_i$.

2. Чему равно математическое ожидание числа успехов в схеме Бернулли?
Схема Бернулли представляет собой последовательность из $n$ независимых испытаний, в каждом из которых событие ("успех") происходит с одинаковой вероятностью $p$. Число успехов в такой серии является случайной величиной, распределённой по биномиальному закону.
Математическое ожидание числа успехов в схеме Бернулли равно произведению числа испытаний $n$ на вероятность успеха $p$ в одном испытании.
Формула для математического ожидания $M(X)$:
$M(X) = np$.
Ответ: Математическое ожидание числа успехов в схеме Бернулли равно $np$, где $n$ – число испытаний, а $p$ – вероятность успеха в одном испытании.

3. Чему равно математическое ожидание суммы случайных величин?
Математическое ожидание обладает свойством линейности. Согласно этому свойству, математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий. Важно отметить, что это свойство справедливо вне зависимости от того, являются ли случайные величины зависимыми или независимыми.
Для двух случайных величин $X$ и $Y$ формула выглядит так:
$M(X + Y) = M(X) + M(Y)$.
В общем случае для $n$ случайных величин $X_1, X_2, \ldots, X_n$:
$M(\sum_{i=1}^{n} X_i) = \sum_{i=1}^{n} M(X_i)$.
Ответ: Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: $M(X + Y) = M(X) + M(Y)$.

4. Что называют дисперсией случайной величины?
Дисперсией случайной величины называют меру разброса или изменчивости её значений относительно её математического ожидания. Она показывает, насколько в среднем значения случайной величины отклоняются от её среднего значения.
Формально, дисперсия (обозначается $D(X)$ или $Var(X)$) – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины $X$ от её математического ожидания $M(X)$.
Формула по определению:
$D(X) = M\left( (X - M(X))^2 \right)$.
Для вычислений также удобна формула:
$D(X) = M(X^2) - (M(X))^2$.
Ответ: Дисперсия – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: $D(X) = M\left( (X - M(X))^2 \right)$.

5. Что называют стандартным отклонением случайной величины?
Стандартным отклонением (или среднеквадратическим отклонением) случайной величины называют положительный квадратный корень из её дисперсии. Как и дисперсия, стандартное отклонение является мерой разброса значений случайной величины. Его преимущество в том, что оно измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, что делает его более интуитивно понятным.
Обозначается греческой буквой сигма $\sigma(X)$ или $SD(X)$.
Формула:
$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$.
Ответ: Стандартное отклонение – это квадратный корень из дисперсии случайной величины: $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$.