Номер 37.13, страница 346 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 37. Случайные величины - номер 37.13, страница 346.

Условие.

37.13. Игровой кубик бросают не больше 3 раз до тех пор, пока первый раз не выпадет шестёрка, и записывают, сколько раз пришлось подбросить кубик. Составьте таблицу распределения вероятностей записанной случайной величины.

Решение.

Пусть $X$ — случайная величина, равная количеству бросков игрального кубика. Согласно условию, кубик бросают до тех пор, пока не выпадет шестёрка, но не более 3 раз. Это означает, что случайная величина $X$ может принимать значения 1, 2 или 3.

Определим вероятности элементарных событий для одного броска:

Вероятность выпадения шестёрки (успех): $p = \frac{1}{6}$.

Вероятность невыпадения шестёрки (неудача): $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Теперь найдём вероятности для каждого возможного значения случайной величины $X$.

1. Событие $\{X=1\}$ происходит, если шестёрка выпадает при первом же броске. Вероятность этого события:

$P(X=1) = p = \frac{1}{6}$

2. Событие $\{X=2\}$ происходит, если при первом броске шестёрка не выпала, а при втором — выпала. Так как броски являются независимыми событиями, вероятность этого равна произведению их вероятностей:

$P(X=2) = q \cdot p = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$

3. Событие $\{X=3\}$ происходит, если в первых двух бросках шестёрка не выпадала. Эксперимент заканчивается после третьего броска независимо от его результата, так как это максимальное разрешенное количество бросков. Следовательно, для наступления этого события необходимо, чтобы первые два броска были неудачными:

$P(X=3) = q \cdot q = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$

Для проверки правильности расчётов убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1:

$P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = \frac{1}{6} + \frac{5}{36} + \frac{25}{36} = \frac{6}{36} + \frac{5}{36} + \frac{25}{36} = \frac{6+5+25}{36} = \frac{36}{36} = 1$

Сумма вероятностей равна 1, значит, расчёты верны. Теперь можно составить таблицу распределения вероятностей.

Ответ:

$X$	1	2	3
$P$	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{25}{36}$