Номер 37.10, страница 346 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 37. Случайные величины - номер 37.10, страница 346.

Условие.

37.10. В одной коробке лежат 2 шара, пронумерованных числами 1 и 2, в другой — 3 шара, пронумерованных числами 3, 4 и 5. Из каждой коробки наугад берут по одному шару и записывают сумму чисел на взятых шарах. Какую случайную величину изучают в этом испытании? Составьте таблицу распределения вероятностей этой случайной величины.

Решение.

Какую случайную величину изучают в этом испытании?

В данном испытании, где из двух коробок извлекают по одному шару и записывают сумму их номеров, изучаемой случайной величиной является эта самая сумма. Обозначим эту случайную величину как $X$.

Ответ: В этом испытании изучают случайную величину, равную сумме чисел на взятых шарах.

Составьте таблицу распределения вероятностей этой случайной величины.

Чтобы составить таблицу распределения, необходимо определить все возможные значения, которые может принимать случайная величина $X$, и найти вероятности этих значений.

1. Определим пространство элементарных исходов. В первой коробке находятся шары с номерами $\{1, 2\}$, во второй — с номерами $\{3, 4, 5\}$. Из каждой коробки извлекается по одному шару. Возможные пары номеров извлеченных шаров:

• (1, 3)
• (1, 4)
• (1, 5)
• (2, 3)
• (2, 4)
• (2, 5)

Всего возможно $2 \times 3 = 6$ различных исходов. Поскольку шары извлекаются наугад, все 6 исходов являются равновероятными. Вероятность каждого исхода составляет $\frac{1}{6}$.

2. Найдем значения случайной величины $X$ (суммы чисел) для каждого исхода:

• Для исхода (1, 3): $X = 1 + 3 = 4$.
• Для исхода (1, 4): $X = 1 + 4 = 5$.
• Для исхода (1, 5): $X = 1 + 5 = 6$.
• Для исхода (2, 3): $X = 2 + 3 = 5$.
• Для исхода (2, 4): $X = 2 + 4 = 6$.
• Для исхода (2, 5): $X = 2 + 5 = 7$.

Таким образом, случайная величина $X$ может принимать значения из множества $\{4, 5, 6, 7\}$.

3. Рассчитаем вероятности для каждого возможного значения $X$:

• $P(X = 4)$: Сумма равна 4 только в одном случае (1, 3). Вероятность: $P(X=4) = \frac{1}{6}$.
• $P(X = 5)$: Сумма равна 5 в двух случаях: (1, 4) и (2, 3). Вероятность: $P(X=5) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
• $P(X = 6)$: Сумма равна 6 в двух случаях: (1, 5) и (2, 4). Вероятность: $P(X=6) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
• $P(X = 7)$: Сумма равна 7 только в одном случае (2, 5). Вероятность: $P(X=7) = \frac{1}{6}$.

Для проверки убедимся, что сумма всех вероятностей равна 1: $\frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

4. Представим полученные данные в виде таблицы распределения вероятностей.

Ответ:

$X$ (значение)	4	5	6	7
$P$ (вероятность)	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$