Номер 37.4, страница 344 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 37. Случайные величины - номер 37.4, страница 344.

Условие.

37.4. По таблице распределения вероятностей случайной величины $x$ найдите значение переменной $a$.

1)

Значение $x$	1	2	3	4	5
Вероятность	0,18	0,18	0,18	0,18	$a$

2)

Значение $x$	-1	-2	-3	-4
Вероятность	$3a$	$4a$	$6a$	$7a$

3)

Значение $x$	$x_0$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$
Вероятность, %	27	$b$	32	$a$	17	$-a$

4)

Значение $x$	$a$	$1 - a^2$	7
Вероятность	$5a^2 - 2a$	$3 - 5a$	$a^2$

Решение.

1)
Сумма всех вероятностей в таблице распределения случайной величины должна быть равна 1. Составим уравнение, просуммировав все указанные вероятности:
$0,18 + 0,18 + 0,18 + 0,18 + a = 1$
$4 \cdot 0,18 + a = 1$
$0,72 + a = 1$
$a = 1 - 0,72$
$a = 0,28$
Проверим, что все вероятности неотрицательны. Поскольку $a = 0,28$ является положительным числом, это условие выполняется.
Ответ: $a = 0,28$.

2)
Сумма всех вероятностей в распределении должна быть равна 1. Составим уравнение на основе данных из таблицы:
$3a + 4a + 6a + 7a = 1$
$20a = 1$
$a = \frac{1}{20}$
$a = 0,05$
Так как $a = 0,05 > 0$, все вероятности ($3a, 4a, 6a, 7a$) будут положительными, что удовлетворяет свойству неотрицательности вероятностей.
Ответ: $a = 0,05$.

3)
Вероятность любого события должна быть неотрицательной. В таблице вероятности указаны в процентах, поэтому их значения должны быть неотрицательными числами.
Рассмотрим вероятности, зависящие от $a$: $P(x_3) = a\%$ и $P(x_5) = -a\%$.
Из условия неотрицательности вероятностей получаем систему неравенств:
$\begin{cases} a \ge 0 \\ -a \ge 0 \end{cases}$
Второе неравенство $-a \ge 0$ равносильно неравенству $a \le 0$.
Таким образом, мы имеем систему $\begin{cases} a \ge 0 \\ a \le 0 \end{cases}$.
Единственное число, которое одновременно не меньше нуля и не больше нуля, — это ноль.
Следовательно, $a = 0$.
Ответ: $a = 0$.

4)
Сумма всех вероятностей в распределении равна 1. Составим и решим уравнение:
$(5a^2 - 2a) + (3 - 5a) + a^2 = 1$
$6a^2 - 7a + 3 = 1$
$6a^2 - 7a + 2 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 49 - 48 = 1$
$a_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{7 + 1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$
$a_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{7 - 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
Теперь необходимо проверить, при каком из найденных значений $a$ все вероятности будут неотрицательными ($P_i \ge 0$).
Проверим значение $a_1 = \frac{2}{3}$:
Вероятность $P_2 = 3 - 5a = 3 - 5 \cdot \frac{2}{3} = 3 - \frac{10}{3} = \frac{9-10}{3} = -\frac{1}{3}$.
Так как вероятность не может быть отрицательной, значение $a = \frac{2}{3}$ не подходит.
Проверим значение $a_2 = \frac{1}{2}$:
$P_1 = 5a^2 - 2a = 5(\frac{1}{2})^2 - 2(\frac{1}{2}) = 5 \cdot \frac{1}{4} - 1 = \frac{5}{4} - \frac{4}{4} = \frac{1}{4} \ge 0$
$P_2 = 3 - 5a = 3 - 5(\frac{1}{2}) = 3 - \frac{5}{2} = \frac{6}{2} - \frac{5}{2} = \frac{1}{2} \ge 0$
$P_3 = a^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \ge 0$
Все вероятности неотрицательны, следовательно, это значение является решением.
Ответ: $a = \frac{1}{2}$.