Номер 36.18, страница 338 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 36. Схема Бернулли - номер 36.18, страница 338.

Условие.

36.18. Решите уравнение:

1) $\frac{x+4}{x-1} + \frac{x-4}{x+1} = \frac{x+8}{x-2} + \frac{x-8}{x+2}$;

2) $\frac{x-1}{x+1} - \frac{x-2}{x+2} = \frac{x-3}{x+3} - \frac{x-4}{x+4}$;

3) $\frac{x^2+2x+2}{x+1} + \frac{x^2+8x+20}{x+4} = \frac{x^2+4x+6}{x+2} + \frac{x^2+6x+12}{x+3}$.

Решение.

1)

Исходное уравнение: $ \frac{x+4}{x-1} + \frac{x-4}{x+1} = \frac{x+8}{x-2} + \frac{x-8}{x+2} $.

Область допустимых значений (ОДЗ): $ x \neq \pm 1, x \neq \pm 2 $.

Преобразуем каждую дробь, выделив целую часть:

$ \frac{x+4}{x-1} = \frac{x-1+5}{x-1} = 1 + \frac{5}{x-1} $

$ \frac{x-4}{x+1} = \frac{x+1-5}{x+1} = 1 - \frac{5}{x+1} $

$ \frac{x+8}{x-2} = \frac{x-2+10}{x-2} = 1 + \frac{10}{x-2} $

$ \frac{x-8}{x+2} = \frac{x+2-10}{x+2} = 1 - \frac{10}{x+2} $

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$ (1 + \frac{5}{x-1}) + (1 - \frac{5}{x+1}) = (1 + \frac{10}{x-2}) + (1 - \frac{10}{x+2}) $

$ 2 + 5(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}) = 2 + 10(\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}) $

Вычтем 2 из обеих частей и приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$ 5 \cdot \frac{x+1 - (x-1)}{(x-1)(x+1)} = 10 \cdot \frac{x+2 - (x-2)}{(x-2)(x+2)} $

$ 5 \cdot \frac{2}{x^2-1} = 10 \cdot \frac{4}{x^2-4} $

$ \frac{10}{x^2-1} = \frac{40}{x^2-4} $

Разделим обе части на 10:

$ \frac{1}{x^2-1} = \frac{4}{x^2-4} $

Используем свойство пропорции:

$ x^2 - 4 = 4(x^2 - 1) $

$ x^2 - 4 = 4x^2 - 4 $

$ 3x^2 = 0 $

$ x^2 = 0 $

$ x = 0 $

Корень $ x=0 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 0.

2)

Исходное уравнение: $ \frac{x-1}{x+1} - \frac{x-2}{x+2} = \frac{x-3}{x+3} - \frac{x-4}{x+4} $.

ОДЗ: $ x \neq -1, x \neq -2, x \neq -3, x \neq -4 $.

Преобразуем каждую дробь, выделив целую часть:

$ \frac{x-1}{x+1} = \frac{x+1-2}{x+1} = 1 - \frac{2}{x+1} $

$ \frac{x-2}{x+2} = \frac{x+2-4}{x+2} = 1 - \frac{4}{x+2} $

$ \frac{x-3}{x+3} = \frac{x+3-6}{x+3} = 1 - \frac{6}{x+3} $

$ \frac{x-4}{x+4} = \frac{x+4-8}{x+4} = 1 - \frac{8}{x+4} $

Подставим в уравнение:

$ (1 - \frac{2}{x+1}) - (1 - \frac{4}{x+2}) = (1 - \frac{6}{x+3}) - (1 - \frac{8}{x+4}) $

$ 1 - \frac{2}{x+1} - 1 + \frac{4}{x+2} = 1 - \frac{6}{x+3} - 1 + \frac{8}{x+4} $

$ \frac{4}{x+2} - \frac{2}{x+1} = \frac{8}{x+4} - \frac{6}{x+3} $

Приведем к общему знаменателю в каждой части:

$ \frac{4(x+1) - 2(x+2)}{(x+2)(x+1)} = \frac{8(x+3) - 6(x+4)}{(x+4)(x+3)} $

$ \frac{4x+4-2x-4}{x^2+3x+2} = \frac{8x+24-6x-24}{x^2+7x+12} $

$ \frac{2x}{x^2+3x+2} = \frac{2x}{x^2+7x+12} $

Это уравнение распадается на два случая:

Случай 1: Числители равны нулю.

$ 2x=0 \Rightarrow x=0 $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: Числители не равны нулю ($x \neq 0$), тогда равны знаменатели.

$ x^2+3x+2 = x^2+7x+12 $

$ 3x+2 = 7x+12 $

$ 4x = -10 $

$ x = -\frac{10}{4} = -2.5 $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -2.5; 0.

3)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2+2x+2}{x+1} + \frac{x^2+8x+20}{x+4} = \frac{x^2+4x+6}{x+2} + \frac{x^2+6x+12}{x+3} $.

ОДЗ: $ x \neq -1, x \neq -2, x \neq -3, x \neq -4 $.

Преобразуем каждую дробь, выделив в числителе полный квадрат:

$ \frac{x^2+2x+2}{x+1} = \frac{(x^2+2x+1)+1}{x+1} = \frac{(x+1)^2+1}{x+1} = x+1 + \frac{1}{x+1} $

$ \frac{x^2+8x+20}{x+4} = \frac{(x^2+8x+16)+4}{x+4} = \frac{(x+4)^2+4}{x+4} = x+4 + \frac{4}{x+4} $

$ \frac{x^2+4x+6}{x+2} = \frac{(x^2+4x+4)+2}{x+2} = \frac{(x+2)^2+2}{x+2} = x+2 + \frac{2}{x+2} $

$ \frac{x^2+6x+12}{x+3} = \frac{(x^2+6x+9)+3}{x+3} = \frac{(x+3)^2+3}{x+3} = x+3 + \frac{3}{x+3} $

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$ (x+1 + \frac{1}{x+1}) + (x+4 + \frac{4}{x+4}) = (x+2 + \frac{2}{x+2}) + (x+3 + \frac{3}{x+3}) $

$ 2x+5 + \frac{1}{x+1} + \frac{4}{x+4} = 2x+5 + \frac{2}{x+2} + \frac{3}{x+3} $

Вычтем $2x+5$ из обеих частей:

$ \frac{1}{x+1} + \frac{4}{x+4} = \frac{2}{x+2} + \frac{3}{x+3} $

Сгруппируем слагаемые по-другому, чтобы упростить вычисления:

$ \frac{4}{x+4} - \frac{3}{x+3} = \frac{2}{x+2} - \frac{1}{x+1} $

Приведем к общему знаменателю в каждой части:

$ \frac{4(x+3)-3(x+4)}{(x+4)(x+3)} = \frac{2(x+1)-(x+2)}{(x+2)(x+1)} $

$ \frac{4x+12-3x-12}{x^2+7x+12} = \frac{2x+2-x-2}{x^2+3x+2} $

$ \frac{x}{x^2+7x+12} = \frac{x}{x^2+3x+2} $

Это уравнение, как и в предыдущем пункте, распадается на два случая:

Случай 1: Числители равны нулю.

$ x=0 $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: Числители не равны нулю ($x \neq 0$), тогда равны знаменатели.

$ x^2+7x+12 = x^2+3x+2 $

$ 7x+12 = 3x+2 $

$ 4x = -10 $

$ x = -\frac{10}{4} = -2.5 $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -2.5; 0.