Номер 36.16, страница 338 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 36. Схема Бернулли - номер 36.16, страница 338.

Условие.

36.16. Гроссмейстер проводит сеанс одновременной игры в шахматы на 30 досках. Вероятность того, что гроссмейстер выиграет каждую отдельную партию, равна 95 %. Какова вероятность того, что в сеансе гроссмейстер выиграет не менее 28 партий?

Решение.

Данная задача описывает серию независимых испытаний с двумя возможными исходами, поэтому для ее решения используется формула Бернулли.

Введем обозначения:

• $n = 30$ – общее количество партий (испытаний).
• $p = 0.95$ – вероятность выигрыша гроссмейстера в одной партии (вероятность «успеха»).
• $q = 1 - p = 1 - 0.95 = 0.05$ – вероятность того, что гроссмейстер не выиграет партию (вероятность «неудачи»).

Требуется найти вероятность того, что гроссмейстер выиграет «не менее 28 партий». Это означает, что он выиграет 28, 29 или 30 партий. Искомая вероятность $P$ равна сумме вероятностей этих трех событий:

$P(k \geq 28) = P(k=28) + P(k=29) + P(k=30)$

Вероятность наступления ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – биномиальный коэффициент.

Теперь рассчитаем вероятность для каждого из трех случаев.

1. Вероятность выиграть ровно 30 партий (k=30):

$P_{30}(30) = C_{30}^{30} \cdot (0.95)^{30} \cdot (0.05)^{30-30} = 1 \cdot (0.95)^{30} \cdot 1 = (0.95)^{30} \approx 0.2146$

2. Вероятность выиграть ровно 29 партий (k=29):

$C_{30}^{29} = \frac{30!}{29! \cdot 1!} = 30$

$P_{30}(29) = 30 \cdot (0.95)^{29} \cdot (0.05)^1 = 30 \cdot 0.95^{29} \cdot 0.05 \approx 30 \cdot 0.2259 \cdot 0.05 \approx 0.3389$

3. Вероятность выиграть ровно 28 партий (k=28):

$C_{30}^{28} = \frac{30!}{28! \cdot 2!} = \frac{30 \cdot 29}{2} = 435$

$P_{30}(28) = 435 \cdot (0.95)^{28} \cdot (0.05)^2 = 435 \cdot (0.95)^{28} \cdot 0.0025 \approx 435 \cdot 0.2378 \cdot 0.0025 \approx 0.2586$

Теперь просуммируем полученные вероятности, чтобы найти итоговую вероятность:

$P(k \geq 28) \approx 0.2146 + 0.3389 + 0.2586 = 0.8121$

Округлив до трех знаков после запятой, получаем 0,812.

Ответ: $0,812$