Номер 36.9, страница 337 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 36. Схема Бернулли - номер 36.9, страница 337.

Условие.

36.9. Тест состоит из 7 вопросов. Вероятность того, что ученик правильно ответит на отдельно взятый вопрос, равна 90 %. Найти вероятность того, что ученик правильно ответит на 5 вопросов.

Решение.

Данная задача решается с помощью формулы Бернулли, которая позволяет вычислить вероятность наступления события ровно $k$ раз в $n$ независимых испытаниях. Формула имеет вид:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где:

• $n$ — общее число испытаний (в нашем случае — количество вопросов в тесте).
• $k$ — число "успехов" (количество правильных ответов, вероятность которых мы ищем).
• $p$ — вероятность "успеха" в одном испытании (вероятность правильно ответить на один вопрос).
• $q$ — вероятность "неудачи" в одном испытании (вероятность ответить неправильно), вычисляется как $q = 1 - p$.
• $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$, которое показывает, сколькими способами можно выбрать $k$ успешных исходов из $n$ испытаний. Вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Определим значения переменных для нашей задачи:

• $n = 7$ (всего вопросов)
• $k = 5$ (требуемое количество правильных ответов)
• $p = 90\% = 0.9$ (вероятность правильного ответа на один вопрос)
• $q = 1 - 0.9 = 0.1$ (вероятность неправильного ответа на один вопрос)

1. Вычислим число сочетаний $C_7^5$:

$C_7^5 = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5! \cdot 2!} = \frac{5! \cdot 6 \cdot 7}{5! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{42}{2} = 21$

Это означает, что существует 21 способ, которым ученик может правильно ответить ровно на 5 вопросов из 7.

2. Подставим все значения в формулу Бернулли:

$P_7(5) = C_7^5 \cdot p^5 \cdot q^{7-5} = 21 \cdot (0.9)^5 \cdot (0.1)^2$

3. Произведем вычисления:

$(0.9)^5 = 0.59049$

$(0.1)^2 = 0.01$

$P_7(5) = 21 \cdot 0.59049 \cdot 0.01 = 0.1239029$

Ответ: $0.1239029$