Номер 36.2, страница 337 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 36. Схема Бернулли - номер 36.2, страница 337.

Условие.

36.2. Найдите вероятность того, что в схеме Бернулли с параметрами $n$ и $p$ число успешных исходов равно $m$, если:

1) $n=6, p=\frac{1}{2}, m=3;$

2) $n=3, p=0,4, m=0;$

3) $n=5, p=70, m=2.$

Решение.

Для решения данной задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность получения ровно $m$ успехов в $n$ независимых испытаниях:

$P_n(m) = C_n^m \cdot p^m \cdot (1-p)^{n-m}$

где:

• $n$ — общее число испытаний;
• $m$ — число успешных исходов;
• $p$ — вероятность успеха в одном испытании;
• $1-p$ — вероятность неудачи в одном испытании (обозначается как $q$);
• $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$ — биномиальный коэффициент (число сочетаний из $n$ по $m$).

1) $n = 6, p = \frac{1}{2}, m = 3$

Находим вероятность $P_6(3)$.

Вероятность неудачи $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Рассчитаем число сочетаний $C_6^3$:

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

Подставляем значения в формулу Бернулли:

$P_6(3) = C_6^3 \cdot p^m \cdot q^{n-m} = 20 \cdot (\frac{1}{2})^3 \cdot (\frac{1}{2})^{6-3} = 20 \cdot (\frac{1}{2})^3 \cdot (\frac{1}{2})^3 = 20 \cdot (\frac{1}{2})^6 = 20 \cdot \frac{1}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$.

Ответ: $\frac{5}{16}$.

2) $n = 3, p = 0,4, m = 0$

Находим вероятность $P_3(0)$.

Вероятность неудачи $q = 1 - p = 1 - 0,4 = 0,6$.

Рассчитаем число сочетаний $C_3^0$:

$C_3^0 = \frac{3!}{0!(3-0)!} = 1$.

Подставляем значения в формулу Бернулли:

$P_3(0) = C_3^0 \cdot p^m \cdot q^{n-m} = 1 \cdot (0,4)^0 \cdot (0,6)^{3-0} = 1 \cdot 1 \cdot (0,6)^3 = 0,216$.

Ответ: $0,216$.

3) $n = 5, p = 70, m = 2$

Условие данного пункта некорректно, так как вероятность $p$ не может быть больше 1 (в данном случае $p=70$). Вероятность любого события должна находиться в диапазоне $[0, 1]$.

Предположим, что в условии опечатка и имелось в виду $p=0,7$. Решим задачу для этого значения.

При $p=0,7$ находим вероятность $P_5(2)$.

Вероятность неудачи $q = 1 - p = 1 - 0,7 = 0,3$.

Рассчитаем число сочетаний $C_5^2$:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Подставляем значения в формулу Бернулли:

$P_5(2) = C_5^2 \cdot p^m \cdot q^{n-m} = 10 \cdot (0,7)^2 \cdot (0,3)^{5-2} = 10 \cdot (0,7)^2 \cdot (0,3)^3 = 10 \cdot 0,49 \cdot 0,027 = 0,1323$.

Ответ: задача в исходной формулировке не имеет решения. При предположении, что $p=0,7$, ответ равен $0,1323$.