Номер 36.1, страница 337 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 36. Схема Бернулли - номер 36.1, страница 337.

Условие.

36.1. Найдите вероятность того, что в схеме Бернулли с параметрами $n$ и $p$ число успешных исходов равно $m$, если:

1) $n = 8, p = 0.2, m = 2;$

2) $n = 5, p = \frac{1}{4}, m = 5;$

3) $n = 4, p = 60\%, m = 3.$

Решение.

Для решения данной задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность того, что в серии из $n$ независимых испытаний, где вероятность «успеха» в каждом испытании равна $p$, произойдет ровно $m$ «успехов».

Формула Бернулли выглядит следующим образом:

$P_n(m) = C_n^m \cdot p^m \cdot q^{n-m}$

Здесь $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$ — это число сочетаний (количество способов выбрать $m$ успешных исходов из $n$ испытаний), а $q = 1-p$ — вероятность «неудачи».

1)

В этом случае параметры: число испытаний $n = 8$, вероятность успеха $p = 0,2$, искомое число успехов $m = 2$.

Сначала определим вероятность неудачи $q$:

$q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8$

Далее вычислим число сочетаний $C_8^2$:

$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$

Теперь подставим все найденные значения в формулу Бернулли:

$P_8(2) = C_8^2 \cdot p^2 \cdot q^{8-2} = 28 \cdot (0,2)^2 \cdot (0,8)^6$

Проведем вычисления:

$P_8(2) = 28 \cdot 0,04 \cdot 0,262144 = 1,12 \cdot 0,262144 = 0,29360128$

Ответ: $0,29360128$

2)

Здесь параметры: $n = 5, p = \frac{1}{4}, m = 5$.

Это случай, когда все 5 испытаний должны завершиться успехом.

Найдем вероятность неудачи $q$:

$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Число сочетаний $C_5^5$ равно 1, так как есть только один способ, которым все 5 испытаний могут быть успешными:

$C_5^5 = \frac{5!}{5!(5-5)!} = \frac{5!}{5!0!} = 1$

Подставляем значения в формулу:

$P_5(5) = C_5^5 \cdot p^5 \cdot q^{5-5} = 1 \cdot (\frac{1}{4})^5 \cdot (\frac{3}{4})^0$

Поскольку любое число в степени 0 равно 1, формула упрощается:

$P_5(5) = (\frac{1}{4})^5 = \frac{1^5}{4^5} = \frac{1}{1024}$

Ответ: $\frac{1}{1024}$

3)

Параметры задачи: $n = 4, p = 60 \%, m = 3$.

Первым делом преобразуем вероятность из процентов в десятичную дробь:

$p = 60\% = 0,6$

Тогда вероятность неудачи $q$ будет:

$q = 1 - p = 1 - 0,6 = 0,4$

Вычислим число сочетаний $C_4^3$:

$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = 4$

Подставим все значения в формулу Бернулли:

$P_4(3) = C_4^3 \cdot p^3 \cdot q^{4-3} = 4 \cdot (0,6)^3 \cdot (0,4)^1$

Проведем вычисления:

$P_4(3) = 4 \cdot 0,216 \cdot 0,4 = 0,3456$

Ответ: $0,3456$