Номер 35.15, страница 331 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 35. Геометрическая вероятность - номер 35.15, страница 331.

Условие.

35.15. При каких значениях параметра $b$ имеет единственный корень уравнение $bx^2 + x + b = 0$.

Решение.

Для того чтобы уравнение $bx^2 + x + b = 0$ имело единственный корень, необходимо рассмотреть два случая, поскольку при разных значениях параметра $b$ уравнение может быть как квадратным, так и линейным.

Случай 1: $b = 0$

Если коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $b=0$, уравнение становится линейным. Подставим это значение в исходное уравнение:

$0 \cdot x^2 + x + 0 = 0$

В результате получаем $x = 0$.

Это линейное уравнение, которое имеет ровно один корень. Следовательно, значение $b=0$ является одним из решений задачи.

Случай 2: $b \neq 0$

Если коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $b \neq 0$, данное уравнение является квадратным. Квадратное уравнение имеет единственный корень (или, что то же самое, два совпадающих корня) в том и только в том случае, когда его дискриминант ($D$) равен нулю.

Для уравнения вида $ax^2 + kx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = k^2 - 4ac$. В нашем уравнении $bx^2 + x + b = 0$ коэффициенты равны $a=b$, $k=1$ и $c=b$.

Вычислим дискриминант:

$D = 1^2 - 4 \cdot b \cdot b = 1 - 4b^2$

Теперь приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значения $b$, при которых уравнение имеет один корень:

$1 - 4b^2 = 0$

$4b^2 = 1$

$b^2 = \frac{1}{4}$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $b$:

$b_1 = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

$b_2 = -\sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2}$

Оба этих значения удовлетворяют условию $b \neq 0$, поэтому они также являются решениями задачи.

Объединив результаты, полученные в обоих случаях, мы находим все значения параметра $b$, при которых исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $b=0; b=-\frac{1}{2}; b=\frac{1}{2}$.