Номер 35.8, страница 330 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 35. Геометрическая вероятность - номер 35.8, страница 330.

Условие.

35.8. В квадрате с вершинами в точках с координатами (0; 0), (1; 0), (0; 1), (1; 1) наугад выбирают точку $Q(x; y)$. Для случайных событий $A=\{(x; y) \mid x \geq 0,5\}$ и $B=\{(x; y) \mid y < 0,3\}$ докажите равенство $p(A \cap B) = p(A)p(B)$.

Решение.

Для решения данной задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность события определяется как отношение площади фигуры, соответствующей благоприятным исходам, к площади всей фигуры, представляющей все возможные исходы.

Пространство всех возможных исходов — это квадрат с вершинами в точках (0; 0), (1; 0), (0; 1), (1; 1). Площадь этого квадрата, обозначим ее $S_{общ}$, равна $1 \times 1 = 1$.

1. Найдем вероятность события A
Событие $A$ состоит в том, что для случайно выбранной точки $(x; y)$ выполняется условие $x \ge 0,5$. Внутри единичного квадрата этому условию соответствует прямоугольник с вершинами в точках (0,5; 0), (1; 0), (1; 1) и (0,5; 1). Площадь этой области, $S_A$, равна:
$S_A = (1 - 0,5) \times (1 - 0) = 0,5 \times 1 = 0,5$.
Вероятность события A:
$p(A) = \frac{S_A}{S_{общ}} = \frac{0,5}{1} = 0,5$.

2. Найдем вероятность события B
Событие $B$ состоит в том, что для случайно выбранной точки $(x; y)$ выполняется условие $y < 0,3$. Внутри единичного квадрата этому условию соответствует прямоугольник с вершинами в точках (0; 0), (1; 0), (1; 0,3) и (0; 0,3). Площадь этой области, $S_B$, равна:
$S_B = (1 - 0) \times (0,3 - 0) = 1 \times 0,3 = 0,3$.
Вероятность события B:
$p(B) = \frac{S_B}{S_{общ}} = \frac{0,3}{1} = 0,3$.

3. Найдем вероятность пересечения событий A и B
Пересечение событий $A \cap B$ соответствует одновременному выполнению условий $x \ge 0,5$ и $y < 0,3$. Внутри единичного квадрата этому условию соответствует прямоугольник с вершинами в точках (0,5; 0), (1; 0), (1; 0,3) и (0,5; 0,3). Площадь этой области, $S_{A \cap B}$, равна:
$S_{A \cap B} = (1 - 0,5) \times (0,3 - 0) = 0,5 \times 0,3 = 0,15$.
Вероятность события $A \cap B$:
$p(A \cap B) = \frac{S_{A \cap B}}{S_{общ}} = \frac{0,15}{1} = 0,15$.

4. Докажем равенство
Теперь необходимо проверить истинность равенства $p(A \cap B) = p(A)p(B)$.
Вычислим произведение вероятностей $p(A)$ и $p(B)$:
$p(A)p(B) = 0,5 \times 0,3 = 0,15$.
Сравнивая полученный результат с ранее вычисленной вероятностью пересечения, получаем:
$p(A \cap B) = 0,15$
$p(A)p(B) = 0,15$
Так как $0,15 = 0,15$, то равенство $p(A \cap B) = p(A)p(B)$ верно. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $p(A \cap B) = p(A)p(B)$ доказано.