Номер 35.7, страница 330 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 35. Геометрическая вероятность - номер 35.7, страница 330.

Условие.

35.7. В квадрате с вершинами в точках с координатами $(0; 0)$, $(1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; 1)$ наугад выбирают точку $Q (x; y)$. Для случайных событий $A = \{(x; y) \mid x < 0,4\}$ и $B = \{(x; y) \mid y > 0,7\}$ докажите равенство $p(A \cap B) = p(A)p(B)$.

Решение.

В данной задаче используется геометрическое определение вероятности. Пространством элементарных исходов является единичный квадрат с вершинами в точках (0; 0), (1; 0), (0; 1), (1; 1). Площадь этого квадрата $S$ равна $1 \times 1 = 1$. Вероятность любого события равна площади соответствующей ему области внутри этого квадрата.

Найдем вероятность события $A = \{(x; y) | x < 0,4\}$.
Событию A соответствует область внутри квадрата, где $0 \le x < 0,4$ и $0 \le y \le 1$. Эта область является прямоугольником с площадью $S_A = 0,4 \times 1 = 0,4$.
Следовательно, вероятность события A равна: $p(A) = \frac{S_A}{S} = \frac{0,4}{1} = 0,4$.

Найдем вероятность события $B = \{(x; y) | y > 0,7\}$.
Событию B соответствует область внутри квадрата, где $0 \le x \le 1$ и $0,7 < y \le 1$. Эта область является прямоугольником с площадью $S_B = 1 \times (1 - 0,7) = 0,3$.
Следовательно, вероятность события B равна: $p(B) = \frac{S_B}{S} = \frac{0,3}{1} = 0,3$.

Найдем вероятность события пересечения $A \cap B$.
Событие $A \cap B$ соответствует одновременному выполнению условий $x < 0,4$ и $y > 0,7$. Область, соответствующая этому событию, представляет собой прямоугольник, ограниченный неравенствами $0 \le x < 0,4$ и $0,7 < y \le 1$. Площадь этого прямоугольника $S_{A \cap B} = 0,4 \times (1 - 0,7) = 0,4 \times 0,3 = 0,12$.
Вероятность этого события равна: $p(A \cap B) = \frac{S_{A \cap B}}{S} = \frac{0,12}{1} = 0,12$.

Теперь проверим требуемое равенство $p(A \cap B) = p(A)p(B)$.
Левая часть равенства: $p(A \cap B) = 0,12$.
Правая часть равенства: $p(A)p(B) = 0,4 \times 0,3 = 0,12$.
Так как левая и правая части равны ($0,12 = 0,12$), то равенство $p(A \cap B) = p(A)p(B)$ выполняется, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $p(A \cap B) = p(A)p(B)$ доказано.