Вопросы?, страница 330 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 35. Геометрическая вероятность - страница 330.

Условие.

Какой способ называют геометрическим определением вероятностей?

Решение.

Геометрическим определением вероятности называют способ нахождения вероятности случайного события для испытаний, которые имеют бесконечное (несчетное) число равновозможных исходов. В этом подходе пространство элементарных исходов можно представить в виде некоторой геометрической области $\Omega$ (например, отрезок, часть плоскости или часть пространства), а интересующее событие $A$ — в виде некоторой подобласти этой области.

Основное допущение состоит в том, что вероятность попадания случайной точки в какую-либо часть области $\Omega$ пропорциональна мере этой части (ее длине, площади или объему) и не зависит от ее расположения внутри $\Omega$ или от ее формы.

Вероятность $P(A)$ наступления события $A$ вычисляется как отношение меры области $A$, благоприятствующей этому событию, к мере всей области элементарных исходов $\Omega$. Формула имеет следующий вид:

$P(A) = \frac{\mu(A)}{\mu(\Omega)}$

В этой формуле:
$\mu(A)$ — это мера (длина, площадь, объем) области, соответствующей благоприятным исходам (событию $A$);
$\mu(\Omega)$ — это мера всей области возможных исходов.

Например:
1. (Одномерный случай) Если на отрезке $[0, 10]$ случайным образом выбирается точка, то вероятность того, что эта точка окажется на отрезке $[2, 5]$, равна отношению длин отрезков: $P = \frac{5 - 2}{10 - 0} = \frac{3}{10}$.
2. (Двумерный случай) Если в квадрат со стороной $a$ случайным образом бросается точка, то вероятность ее попадания во вписанный в этот квадрат круг равна отношению их площадей: $P = \frac{\text{Площадь круга}}{\text{Площадь квадрата}} = \frac{\pi (a/2)^2}{a^2} = \frac{\pi a^2 / 4}{a^2} = \frac{\pi}{4}$.

Таким образом, геометрическое определение является обобщением классического определения вероятности для случая с бесконечным числом исходов.

Ответ: Геометрическим определением вероятности называют способ вычисления вероятности события как отношения меры (длины, площади или объема) области, благоприятствующей наступлению события, к мере всей области возможных исходов, при условии, что все исходы (точки в области) равновозможны.