Номер 34.25, страница 327 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 34. Зависимые и независимые события - номер 34.25, страница 327.

Условие.

34.25. При каких значениях параметра $a$ число $\frac{1}{4}$ является корнем уравнения $a^2x^2 + 4ax - 5 = 0$?

Решение.

Если число $\frac{1}{4}$ является корнем уравнения, то при подстановке этого значения вместо $x$ в уравнение, мы получим верное числовое равенство.

Подставим $x = \frac{1}{4}$ в уравнение $a^2x^2 + 4ax - 5 = 0$:

$a^2 \cdot (\frac{1}{4})^2 + 4a \cdot \frac{1}{4} - 5 = 0$

Выполним вычисления:

$a^2 \cdot \frac{1}{16} + a - 5 = 0$

$\frac{a^2}{16} + a - 5 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно параметра $a$. Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 16:

$16 \cdot (\frac{a^2}{16} + a - 5) = 16 \cdot 0$

$a^2 + 16a - 80 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 256 + 320 = 576$

Поскольку дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле корней квадратного уравнения:

$a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$

$a_1 = \frac{-16 + 24}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

$a_2 = \frac{-16 - 24}{2 \cdot 1} = \frac{-40}{2} = -20$

Следовательно, при значениях параметра $a$, равных 4 и -20, число $\frac{1}{4}$ является корнем данного уравнения.

Ответ: $4; -20$.