Номер 34.24, страница 326 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 34. Зависимые и независимые события - номер 34.24, страница 326.

Условие.

34.24. Упростите выражение $\sqrt{\frac{x+4}{4} + \sqrt{x}} + \sqrt{\frac{x+4}{4} - \sqrt{x}}$

Решение.

Для упрощения данного выражения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в выражении присутствует $\sqrt{x}$, необходимо, чтобы $x \ge 0$. Кроме того, выражения под внешними корнями также должны быть неотрицательными.

1. $\frac{x+4}{4} + \sqrt{x} \ge 0$. При $x \ge 0$, оба слагаемых $\frac{x+4}{4}$ и $\sqrt{x}$ неотрицательны, поэтому их сумма также неотрицательна. Это неравенство выполняется для всех $x \ge 0$.

2. $\frac{x+4}{4} - \sqrt{x} \ge 0$. Преобразуем это неравенство:$x+4 - 4\sqrt{x} \ge 0$$(\sqrt{x})^2 - 4\sqrt{x} + 4 \ge 0$$(\sqrt{x} - 2)^2 \ge 0$Это неравенство верно для всех значений $x$, для которых определен $\sqrt{x}$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен.Таким образом, ОДЗ выражения: $x \ge 0$.

Теперь преобразуем подкоренные выражения, представив их в виде полных квадратов.Рассмотрим первое подкоренное выражение:$\frac{x+4}{4} + \sqrt{x} = \frac{x+4+4\sqrt{x}}{4} = \frac{(\sqrt{x})^2 + 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 2 + 2^2}{4} = \frac{(\sqrt{x}+2)^2}{4} = \left(\frac{\sqrt{x}+2}{2}\right)^2$.

Рассмотрим второе подкоренное выражение:$\frac{x+4}{4} - \sqrt{x} = \frac{x+4-4\sqrt{x}}{4} = \frac{(\sqrt{x})^2 - 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 2 + 2^2}{4} = \frac{(\sqrt{x}-2)^2}{4} = \left(\frac{\sqrt{x}-2}{2}\right)^2$.

Подставим полученные полные квадраты в исходное выражение:$\sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}+2}{2}\right)^2} + \sqrt{\left(\frac{\sqrt{x}-2}{2}\right)^2}$

Применяя свойство $\sqrt{a^2}=|a|$, получаем:$\left|\frac{\sqrt{x}+2}{2}\right| + \left|\frac{\sqrt{x}-2}{2}\right|$

Так как при $x \ge 0$ выражение $\sqrt{x}+2$ всегда положительно, то и дробь $\frac{\sqrt{x}+2}{2}$ положительна. Следовательно, $\left|\frac{\sqrt{x}+2}{2}\right| = \frac{\sqrt{x}+2}{2}$. Для раскрытия второго модуля необходимо рассмотреть два случая в зависимости от знака выражения $\sqrt{x}-2$.

Случай 1: $\sqrt{x}-2 \ge 0$, что равносильно $\sqrt{x} \ge 2$, или $x \ge 4$. В этом случае $|\sqrt{x}-2| = \sqrt{x}-2$, и наше выражение принимает вид:$\frac{\sqrt{x}+2}{2} + \frac{\sqrt{x}-2}{2} = \frac{\sqrt{x}+2+\sqrt{x}-2}{2} = \frac{2\sqrt{x}}{2} = \sqrt{x}$.

Случай 2: $\sqrt{x}-2 < 0$, что равносильно $\sqrt{x} < 2$, или $0 \le x < 4$ (с учетом ОДЗ). В этом случае $|\sqrt{x}-2| = -(\sqrt{x}-2) = 2-\sqrt{x}$, и наше выражение принимает вид:$\frac{\sqrt{x}+2}{2} + \frac{2-\sqrt{x}}{2} = \frac{\sqrt{x}+2+2-\sqrt{x}}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Объединяя результаты для двух случаев, мы получаем упрощенное выражение.

Ответ: $\begin{cases}2, & \text{если } 0 \le x < 4 \\\sqrt{x}, & \text{если } x \ge 4\end{cases}$