Номер 34.20, страница 326 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 34. Зависимые и независимые события - номер 34.20, страница 326.

Условие.

34.20. Пусть $A$ и $B$ — несовместные события некоторого испытания с ненулевыми вероятностями. Могут ли события $A$ и $B$ быть независимыми?

Решение.

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо рассмотреть определения несовместных и независимых событий в теории вероятностей.

1. Несовместные события. События $A$ и $B$ называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном и том же испытании. Это означает, что их пересечение является невозможным событием, то есть $A \cap B = \emptyset$. Вероятность пересечения (совместного наступления) несовместных событий равна нулю: $P(A \cap B) = 0$

2. Независимые события. События $A$ и $B$ называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого. Математически это выражается равенством: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

В условии задачи сказано, что события $A$ и $B$ несовместные, и их вероятности ненулевые, то есть $P(A) > 0$ и $P(B) > 0$.

Из того, что события $A$ и $B$ несовместные, следует, что $P(A \cap B) = 0$.

Теперь предположим, что эти события также являются независимыми. В этом случае для них должно выполняться условие независимости: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Приравнивая оба выражения для $P(A \cap B)$, мы получаем: $P(A) \cdot P(B) = 0$

Однако по условию задачи вероятности событий $A$ и $B$ ненулевые: $P(A) > 0$ и $P(B) > 0$. Произведение двух положительных чисел также является положительным числом, то есть $P(A) \cdot P(B) > 0$.

Мы получили противоречие: с одной стороны, $P(A) \cdot P(B)$ должно быть равно $0$, а с другой — оно должно быть больше $0$. Это противоречие означает, что наше предположение о независимости событий $A$ и $B$ было неверным.

Таким образом, несовместные события с ненулевыми вероятностями не могут быть независимыми. Они являются зависимыми, поскольку наступление одного из них полностью исключает возможность наступления другого.

Ответ: Нет, не могут.