Номер 34.22, страница 326 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 34. Зависимые и независимые события - номер 34.22, страница 326.

Условие.

34.22. Среди лотерейных билетов 20 % выигрышных. Игрок приобрёл 3 билета. Какова вероятность того, что среди купленных билетов:

1) не будет выигрышных;

2) будет ровно один выигрышный;

3) будет ровно два выигрышных;

4) будут все выигрышные?

Решение.

По условию задачи, 20% лотерейных билетов являются выигрышными. Следовательно, вероятность купить выигрышный билет составляет $p = 0.2$, а вероятность купить проигрышный билет составляет $q = 1 - p = 1 - 0.2 = 0.8$.

Игрок приобретает 3 билета. Это можно рассматривать как серию из $n=3$ независимых испытаний (схема Бернулли). Вероятность того, что среди $n$ билетов будет ровно $k$ выигрышных, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний.

1) не будет выигрышных

В этом случае количество выигрышных билетов $k=0$. Мы ищем вероятность того, что все 3 купленных билета окажутся проигрышными. Вероятность этого события равна:

$P_3(0) = C_3^0 \cdot (0.2)^0 \cdot (0.8)^{3-0} = 1 \cdot 1 \cdot (0.8)^3 = 0.512$.

Ответ: 0,512.

2) будет ровно один выигрышный

Здесь количество выигрышных билетов $k=1$. Это означает, что один билет выигрышный, а два других – проигрышные. Выигрышным может оказаться любой из трех билетов, поэтому существует $C_3^1 = 3$ таких варианта. Вероятность этого события:

$P_3(1) = C_3^1 \cdot (0.2)^1 \cdot (0.8)^{3-1} = 3 \cdot 0.2 \cdot (0.8)^2 = 3 \cdot 0.2 \cdot 0.64 = 0.384$.

Ответ: 0,384.

3) будет ровно два выигрышных

Здесь количество выигрышных билетов $k=2$. Это означает, что два билета выигрышные, а один – проигрышный. Проигрышным может оказаться любой из трех билетов, поэтому существует $C_3^2 = 3$ таких варианта. Вероятность этого события:

$P_3(2) = C_3^2 \cdot (0.2)^2 \cdot (0.8)^{3-2} = 3 \cdot (0.2)^2 \cdot (0.8)^1 = 3 \cdot 0.04 \cdot 0.8 = 0.096$.

Ответ: 0,096.

4) будут все выигрышные

В этом случае все 3 билета выигрышные, то есть $k=3$. Вероятность этого события равна:

$P_3(3) = C_3^3 \cdot (0.2)^3 \cdot (0.8)^{3-3} = 1 \cdot (0.2)^3 \cdot 1 = 0.008$.

Ответ: 0,008.