Номер 34.21, страница 326 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 34. Зависимые и независимые события - номер 34.21, страница 326.

Условие.

34.21. Андрей попадает в мишень с вероятностью 0,7, Сергей — 0,4, а Пётр — 0,2. Все трое делают по одному выстрелу. Какова вероятность того, что:

1) попадут все юноши;

2) ни один из юношей не попадёт;

3) только Андрей попадёт;

4) ровно один из юношей попадёт;

5) не попадёт только Пётр;

6) только один из юношей не попадёт;

7) по крайней мере двое юношей попадут?

Решение.

Обозначим события:

• $A$ - Андрей попал в мишень.
• $S$ - Сергей попал в мишень.
• $P$ - Пётр попал в мишень.

По условию задачи, вероятности этих событий:

• $P(A) = 0,7$
• $P(S) = 0,4$
• $P(P) = 0,2$

Также найдём вероятности противоположных событий (промахов):

• $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,7 = 0,3$
• $P(\bar{S}) = 1 - P(S) = 1 - 0,4 = 0,6$
• $P(\bar{P}) = 1 - P(P) = 1 - 0,2 = 0,8$

Так как выстрелы независимы, вероятность совместного наступления событий равна произведению их вероятностей.

1) попадут все юноши

Это событие означает, что попал Андрей, и попал Сергей, и попал Пётр. Вероятность этого события равна произведению вероятностей попадания каждого из них.

$P(A \cap S \cap P) = P(A) \cdot P(S) \cdot P(P) = 0,7 \cdot 0,4 \cdot 0,2 = 0,056$

Ответ: 0,056

2) ни один из юношей не попадёт

Это событие означает, что Андрей не попал, и Сергей не попал, и Пётр не попал. Вероятность этого равна произведению вероятностей промаха каждого.

$P(\bar{A} \cap \bar{S} \cap \bar{P}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{S}) \cdot P(\bar{P}) = 0,3 \cdot 0,6 \cdot 0,8 = 0,144$

Ответ: 0,144

3) только Андрей попадёт

Это означает, что Андрей попал, а Сергей и Пётр не попали.

$P(A \cap \bar{S} \cap \bar{P}) = P(A) \cdot P(\bar{S}) \cdot P(\bar{P}) = 0,7 \cdot 0,6 \cdot 0,8 = 0,336$

Ответ: 0,336

4) ровно один из юношей попадёт

Это событие является суммой трёх несовместных событий: попал только Андрей, или попал только Сергей, или попал только Пётр. Найдём вероятность каждого из них и сложим.

Только Андрей попал (уже нашли в п.3): $0,7 \cdot 0,6 \cdot 0,8 = 0,336$

Только Сергей попал: $P(\bar{A} \cap S \cap \bar{P}) = P(\bar{A}) \cdot P(S) \cdot P(\bar{P}) = 0,3 \cdot 0,4 \cdot 0,8 = 0,096$

Только Пётр попал: $P(\bar{A} \cap \bar{S} \cap P) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{S}) \cdot P(P) = 0,3 \cdot 0,6 \cdot 0,2 = 0,036$

Суммарная вероятность: $0,336 + 0,096 + 0,036 = 0,468$

Ответ: 0,468

5) не попадёт только Пётр

Это означает, что Андрей и Сергей попали, а Пётр не попал.

$P(A \cap S \cap \bar{P}) = P(A) \cdot P(S) \cdot P(\bar{P}) = 0,7 \cdot 0,4 \cdot 0,8 = 0,224$

Ответ: 0,224

6) только один из юношей не попадёт

Это событие является суммой трёх несовместных событий: не попал только Андрей, или не попал только Сергей, или не попал только Пётр.

Не попал только Андрей (Сергей и Пётр попали): $P(\bar{A} \cap S \cap P) = 0,3 \cdot 0,4 \cdot 0,2 = 0,024$

Не попал только Сергей (Андрей и Пётр попали): $P(A \cap \bar{S} \cap P) = 0,7 \cdot 0,6 \cdot 0,2 = 0,084$

Не попал только Пётр (Андрей и Сергей попали, уже нашли в п.5): $0,7 \cdot 0,4 \cdot 0,8 = 0,224$

Суммарная вероятность: $0,024 + 0,084 + 0,224 = 0,332$

Ответ: 0,332

7) по крайней мере двое юношей попадут

Это событие означает, что попадут ровно двое или попадут все трое. Эти события несовместны, поэтому их вероятности можно сложить.

Вероятность, что попадут ровно двое, это то же самое, что и вероятность, что промахнётся ровно один. Эту вероятность мы нашли в п.6, она равна 0,332.

Вероятность, что попадут все трое, мы нашли в п.1, она равна 0,056.

Суммарная вероятность: $0,332 + 0,056 = 0,388$

Ответ: 0,388