Номер 34.17, страница 325 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 34. Зависимые и независимые события - номер 34.17, страница 325.

Условие.

34.17. В коробке лежат 28 синих и 12 красных ручек. Ученик выбирает наугад ручку из коробки и этой ручкой пишет число на бумаге. Сканер распознаёт число, написанное синей ручкой, с вероятностью 90 %, а число, написанное красной ручкой, с вероятностью 80 %. Найдите вероятность того, что написанное число будет распознано.

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Пусть событие $A$ заключается в том, что ученик выбрал синюю ручку, а событие $B$ — в том, что он выбрал красную ручку. Событие $R$ — написанное число распознано.

1. Найдем общее количество ручек в коробке.
В коробке лежат $28$ синих и $12$ красных ручек. Общее количество ручек:$28 + 12 = 40$.

2. Найдем вероятности выбора синей и красной ручек.
Вероятность того, что ученик выберет синюю ручку ($P(A)$), равна отношению количества синих ручек к общему количеству ручек:$P(A) = \frac{28}{40} = \frac{7}{10} = 0.7$.
Вероятность того, что ученик выберет красную ручку ($P(B)$), равна отношению количества красных ручек к общему количеству ручек:$P(B) = \frac{12}{40} = \frac{3}{10} = 0.3$.

3. Используем условные вероятности из условия задачи.
Вероятность, что сканер распознает число, написанное синей ручкой, составляет $90\%$. Это условная вероятность $P(R|A)$:$P(R|A) = 90\% = 0.9$.
Вероятность, что сканер распознает число, написанное красной ручкой, составляет $80\%$. Это условная вероятность $P(R|B)$:$P(R|B) = 80\% = 0.8$.

4. Найдем полную вероятность того, что написанное число будет распознано.
Вероятность $P(R)$ того, что число будет распознано, складывается из двух несовместных событий: (выбрана синяя ручка И число распознано) ИЛИ (выбрана красная ручка И число распознано). По формуле полной вероятности:$P(R) = P(A) \cdot P(R|A) + P(B) \cdot P(R|B)$.
Подставим найденные значения в формулу:$P(R) = 0.7 \cdot 0.9 + 0.3 \cdot 0.8 = 0.63 + 0.24 = 0.87$.

Ответ: 0.87