Номер 34.23, страница 326 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 34. Зависимые и независимые события - номер 34.23, страница 326.

Условие.

34.23. Вероятность того, что футбольный матч между командами $A$ и $B$ завершится вничью, составляет $40\ \%$. Вероятность победы команды $A$ равна $10\ \%$, а команды $B$ — $50\ \%$. Команды $A$ и $B$ планируют провести серию из четырёх поединков между собой. Какова вероятность того, что:

1) все игры закончатся вничью;

2) команда $B$ не проиграет ни одного матча;

3) команда $A$ победит только во второй игре;

4) команда $A$ победит только один раз в серии?

Решение.

Для решения задачи введем обозначения для вероятностей исходов одного матча:
- $P(Н)$ — вероятность ничьей, $P(Н) = 40\% = 0.4$.
- $P(A)$ — вероятность победы команды А, $P(A) = 10\% = 0.1$.
- $P(B)$ — вероятность победы команды B, $P(B) = 50\% = 0.5$.
Сумма вероятностей всех исходов: $0.4 + 0.1 + 0.5 = 1$. Команды проводят серию из четырех независимых друг от друга поединков.

1) все игры закончатся вничью
Вероятность того, что одна игра закончится вничью, равна $P(Н) = 0.4$. Так как все четыре игры независимы, вероятность того, что все они закончатся вничью, равна произведению вероятностей этого события для каждой игры.
$P(\text{4 ничьи}) = P(Н) \cdot P(Н) \cdot P(Н) \cdot P(Н) = (P(Н))^4$
$P(\text{4 ничьи}) = (0.4)^4 = 0.4 \cdot 0.4 \cdot 0.4 \cdot 0.4 = 0.0256$.
Ответ: $0.0256$.

2) команда В не проиграет ни одного матча
Команда В не проиграет, если матч закончится либо победой команды В, либо вничью. Вероятность этого события для одного матча:
$P(\text{В не проиграет}) = P(B) + P(Н) = 0.5 + 0.4 = 0.9$.
Это событие должно произойти во всех четырех независимых играх. Вероятность этого равна произведению вероятностей для каждой игры:
$P(\text{В не проиграет в 4 играх}) = (P(\text{В не проиграет}))^4 = (0.9)^4$
$P(\text{В не проиграет в 4 играх}) = 0.9 \cdot 0.9 \cdot 0.9 \cdot 0.9 = 0.6561$.
Ответ: $0.6561$.

3) команда А победит только во второй игре
Это означает, что в первой, третьей и четвертой играх команда А не победит, а во второй — победит. Вероятность того, что команда А победит, $P(A) = 0.1$. Вероятность того, что команда А не победит (т.е. будет ничья или победа команды В), равна $1 - P(A) = 1 - 0.1 = 0.9$.
Требуется найти вероятность следующей последовательности исходов: (А не победила, А победила, А не победила, А не победила). Так как игры независимы, искомая вероятность равна произведению вероятностей этих событий:
$P(\text{события}) = (1 - P(A)) \cdot P(A) \cdot (1 - P(A)) \cdot (1 - P(A)) = 0.9 \cdot 0.1 \cdot 0.9 \cdot 0.9$
$P(\text{события}) = 0.1 \cdot (0.9)^3 = 0.1 \cdot 0.729 = 0.0729$.
Ответ: $0.0729$.

4) команда А победит только один раз в серии
Это событие означает, что команда А побеждает в одной из четырех игр, а в трех других не побеждает. Есть четыре возможных, несовместных сценария: победа в 1-й игре (и не-победа в остальных), победа во 2-й, победа в 3-й, или победа в 4-й.
Вероятность любого из этих конкретных сценариев одинакова. Например, вероятность победы только во второй игре (как в п.3) равна: $0.9 \cdot 0.1 \cdot 0.9 \cdot 0.9 = 0.0729$.
Поскольку таких сценариев четыре, и они взаимоисключающие, общая вероятность равна сумме их вероятностей:
$P(\text{А победит ровно 1 раз}) = 4 \cdot 0.0729 = 0.2916$.
Эту задачу можно также решить с помощью формулы Бернулли для $k=1$ успеха в $n=4$ испытаниях, где вероятность "успеха" (победы А) $p=0.1$, а вероятность "неудачи" (непобеды А) $q=1-p=0.9$:
$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$
$P_4(1) = C_4^1 \cdot (0.1)^1 \cdot (0.9)^{4-1} = \frac{4!}{1!3!} \cdot 0.1 \cdot (0.9)^3 = 4 \cdot 0.1 \cdot 0.729 = 0.2916$.
Ответ: $0.2916$.