Номер 35.4, страница 330 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 35. Геометрическая вероятность - номер 35.4, страница 330.

Условие.

35.4. В квадрате со стороной 3 наугад выбирают точку. Какова вероятность того, что расстояние от выбранной точки до ближайшей стороны квадрата не превышает 1?

Решение.

Для решения данной задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность события — это отношение площади области, благоприятствующей событию, к общей площади фигуры, в которой случайным образом выбирается точка.

1. Общая площадь.
Точка выбирается в квадрате со стороной 3. Общая площадь $S_{общ}$ (пространство всех элементарных исходов) равна площади этого квадрата. $S_{общ} = 3^2 = 9$.

2. Площадь благоприятной области.
Благоприятное событие состоит в том, что расстояние от выбранной точки до ближайшей стороны квадрата не превышает 1.

Рассмотрим область, в которой это условие не выполняется, то есть где расстояние от точки до ближайшей стороны больше 1. Если точка находится на расстоянии больше 1 от каждой из четырех сторон квадрата, то она будет находиться внутри меньшего квадрата, концентрического исходному.

Исходный квадрат имеет сторону 3. Область, удаленная от каждой стороны более чем на 1, представляет собой квадрат со стороной $3 - 1 - 1 = 1$. Площадь этого внутреннего квадрата (неблагоприятной области) $S_{небл}$ равна: $S_{небл} = 1^2 = 1$.

Площадь благоприятной области $S_{бл}$ — это разность между общей площадью и площадью неблагоприятной области. Эта область представляет собой "рамку" шириной 1 по периметру исходного квадрата. $S_{бл} = S_{общ} - S_{небл} = 9 - 1 = 8$.

3. Вероятность.
Искомая вероятность $P$ равна отношению площади благоприятной области к общей площади: $P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{8}{9}$.

Ответ: $\frac{8}{9}$