Номер 35.6, страница 330 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 35. Геометрическая вероятность - номер 35.6, страница 330.

Условие.

35.6. В прямоугольнике со сторонами 5 и 7 наугад выбирают точку. Какова вероятность того, что расстояние от выбранной точки до всех сторон прямоугольника окажется меньше 4?

Решение.

35.6.

Это задача на геометрическую вероятность. Искомая вероятность $P$ равна отношению площади области, точки которой удовлетворяют заданному условию (благоприятная область), к общей площади прямоугольника. Общая площадь $S_{общ}$ прямоугольника со сторонами 5 и 7 равна $S_{общ} = 5 \times 7 = 35$.

Найдем площадь благоприятной области. Для этого введем систему координат так, чтобы вершины прямоугольника находились в точках $(0, 0)$, $(7, 0)$, $(7, 5)$ и $(0, 5)$. Пусть $(x, y)$ — координаты случайно выбранной точки. Тогда $0 \le x \le 7$ и $0 \le y \le 5$.

Расстояния от точки $(x, y)$ до сторон прямоугольника, которые лежат на прямых $x=0$, $x=7$, $y=0$ и $y=5$, равны соответственно $x$, $7-x$, $y$ и $5-y$.

По условию задачи, расстояние от выбранной точки до всех сторон должно быть меньше 4. Это можно записать в виде системы неравенств:
$ \begin{cases} x < 4 \\ 7 - x < 4 \\ y < 4 \\ 5 - y < 4 \end{cases} $

Решим эту систему:
Из первых двух неравенств: $x < 4$ и $x > 7 - 4$, то есть $x > 3$. Таким образом, $3 < x < 4$.
Из последних двух неравенств: $y < 4$ и $y > 5 - 4$, то есть $y > 1$. Таким образом, $1 < y < 4$.

Эти неравенства определяют благоприятную область — прямоугольник, ограниченный прямыми $x=3, x=4, y=1, y=4$. Длины сторон этого прямоугольника равны $4 - 3 = 1$ и $4 - 1 = 3$. Площадь благоприятной области $S_{бл}$ равна $S_{бл} = 1 \times 3 = 3$.

Искомая вероятность $P$ равна отношению площади благоприятной области к общей площади прямоугольника:
$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{3}{35}$

Ответ: $\frac{3}{35}$