Номер 35.12, страница 331 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 35. Геометрическая вероятность - номер 35.12, страница 331.

Условие.

35.12. На координатную плоскость случайным образом бросают монету радиуса $\frac{1}{4}$. Какова вероятность того, что она пересечёт одну из прямых вида $y = k$ или $x = k$, где $k \in \mathbb{Z}$?

Решение.

Для решения этой задачи используется метод геометрической вероятности. Координатная плоскость разделена прямыми вида $y = k$ и $x = k$, где $k \in \mathbb{Z}$, на единичные квадраты. Из-за симметрии задачи, мы можем рассмотреть положение центра монеты в одном таком квадрате, например, в квадрате с вершинами в точках $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(1, 1)$ и $(0, 1)$. Площадь этого квадрата равна $1 \times 1 = 1$.

Пусть $(x_c, y_c)$ – координаты центра монеты, где $0 \leq x_c \leq 1$ и $0 \leq y_c \leq 1$. Радиус монеты $r = \frac{1}{4}$.

Монета пересечет одну из прямых, если она пересечет хотя бы одну из границ этого квадрата: $x=0$, $x=1$, $y=0$ или $y=1$. Проще найти вероятность противоположного события – что монета не пересечет ни одну из этих прямых, а затем вычесть ее из 1.

Монета не пересечет ни одну из прямых, если ее центр находится на расстоянии большем, чем радиус, от каждой из сторон квадрата. Сформулируем это в виде неравенств:

• Расстояние до прямой $x=0$ должно быть больше $r$: $x_c > \frac{1}{4}$
• Расстояние до прямой $x=1$ должно быть больше $r$: $1 - x_c > \frac{1}{4}$, что равносильно $x_c < \frac{3}{4}$
• Расстояние до прямой $y=0$ должно быть больше $r$: $y_c > \frac{1}{4}$
• Расстояние до прямой $y=1$ должно быть больше $r$: $1 - y_c > \frac{1}{4}$, что равносильно $y_c < \frac{3}{4}$

Таким образом, чтобы монета не пересекла ни одну из линий, ее центр $(x_c, y_c)$ должен находиться внутри области, определяемой неравенствами:$\frac{1}{4} < x_c < \frac{3}{4}$ и $\frac{1}{4} < y_c < \frac{3}{4}$.

Эта область представляет собой квадрат, расположенный в центре нашего единичного квадрата. Длина стороны этого "безопасного" квадрата равна $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Площадь этой "безопасной" области $S_{safe}$ равна:$S_{safe} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Вероятность того, что монета не пересечет ни одну из прямых, равна отношению площади "безопасной" области к площади всего единичного квадрата:$P(\text{не пересечет}) = \frac{S_{safe}}{S_{total}} = \frac{1/4}{1} = \frac{1}{4}$.

Искомая вероятность того, что монета пересечет одну из прямых, является вероятностью дополнительного события:$P(\text{пересечет}) = 1 - P(\text{не пересечет}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.