Номер 35.16, страница 331 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 35. Геометрическая вероятность - номер 35.16, страница 331.

Условие.

35.16. Найдите все пары натуральных чисел $(m; n)$ таких, что $m! + 12 = n^2$.

Решение.

Требуется найти все пары натуральных чисел $(m; n)$, для которых выполняется равенство $m! + 12 = n^2$.

Рассмотрим несколько случаев для $m$.

• При $m=1$: $1! + 12 = 1 + 12 = 13$. Число 13 не является полным квадратом.
• При $m=2$: $2! + 12 = 2 + 12 = 14$. Число 14 не является полным квадратом.
• При $m=3$: $3! + 12 = 6 + 12 = 18$. Число 18 не является полным квадратом.
• При $m=4$: $4! + 12 = 24 + 12 = 36 = 6^2$. Это полный квадрат. Следовательно, $n^2 = 36$. Так как $n$ — натуральное число, то $n=6$. Найдена пара $(4; 6)$.

Рассмотрим случай, когда $m \geq 5$:

Если $m \geq 5$, то в произведение $m! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \dots \cdot m$ входят множители 2 и 5. Это означает, что $m!$ делится на 10, и, следовательно, его десятичная запись оканчивается на 0.

Тогда сумма $m! + 12$ будет оканчиваться на цифру 2 (поскольку число, оканчивающееся на 0, складывается с числом 12).

Теперь проанализируем правую часть уравнения — $n^2$. Квадрат любого натурального числа может оканчиваться только на одну из следующих цифр: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Никакой полный квадрат не может оканчиваться на 2, 3, 7 или 8.

Поскольку при $m \geq 5$ левая часть уравнения, $m! + 12$, оканчивается на 2, а правая часть, $n^2$, не может оканчиваться на 2, то при $m \geq 5$ уравнение не имеет решений в натуральных числах.

Объединяя все рассмотренные случаи, мы видим, что единственное решение существует только при $m=4$.

Ответ: $(4; 6)$