Номер 36.3, страница 337 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 36. Схема Бернулли - номер 36.3, страница 337.

Условие.

36.3. Найдите числовые значения вероятностей того, что в схеме Бернулли с параметрами $n = 4$ и $p = 30 \%$ число успешных исходов равно $m$ при $m = 0, m = 1, m = 3, m = 4$. Сравните полученные значения и сделайте вывод о том, какое количество успешных исходов наиболее вероятно.

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой Бернулли, которая определяет вероятность получения ровно $m$ успехов в $n$ независимых испытаниях:

$P_n(m) = C_n^m \cdot p^m \cdot q^{n-m}$,

где:

• $n$ – общее число испытаний;
• $m$ – число успешных исходов;
• $p$ – вероятность успеха в одном испытании;
• $q$ – вероятность неудачи в одном испытании, $q = 1 - p$;
• $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$ – число сочетаний из $n$ по $m$.

По условию задачи, параметры схемы Бернулли следующие:

• $n = 4$
• $p = 30\% = 0.3$
• $q = 1 - 0.3 = 0.7$

Теперь рассчитаем вероятности для заданных значений $m$.

при m = 0
Вероятность того, что не произойдет ни одного успешного исхода, равна:
$P_4(0) = C_4^0 \cdot (0.3)^0 \cdot (0.7)^{4-0} = \frac{4!}{0! \cdot 4!} \cdot 1 \cdot (0.7)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0.2401 = 0.2401$.
Ответ: $0.2401$

при m = 1
Вероятность того, что произойдет ровно один успешный исход, равна:
$P_4(1) = C_4^1 \cdot (0.3)^1 \cdot (0.7)^{4-1} = \frac{4!}{1! \cdot 3!} \cdot 0.3 \cdot (0.7)^3 = 4 \cdot 0.3 \cdot 0.343 = 1.2 \cdot 0.343 = 0.4116$.
Ответ: $0.4116$

при m = 3
Вероятность того, что произойдет ровно три успешных исхода, равна:
$P_4(3) = C_4^3 \cdot (0.3)^3 \cdot (0.7)^{4-3} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} \cdot (0.3)^3 \cdot (0.7)^1 = 4 \cdot 0.027 \cdot 0.7 = 0.0756$.
Ответ: $0.0756$

при m = 4
Вероятность того, что произойдут все четыре успешных исхода, равна:
$P_4(4) = C_4^4 \cdot (0.3)^4 \cdot (0.7)^{4-4} = \frac{4!}{4! \cdot 0!} \cdot (0.3)^4 \cdot (0.7)^0 = 1 \cdot 0.0081 \cdot 1 = 0.0081$.
Ответ: $0.0081$

Сравнение и вывод
Сравним полученные числовые значения вероятностей:

• $P_4(0) = 0.2401$
• $P_4(1) = 0.4116$
• $P_4(3) = 0.0756$
• $P_4(4) = 0.0081$

Расположив их в порядке убывания, получаем: $0.4116 > 0.2401 > 0.0756 > 0.0081$.
Наибольшее значение вероятности ($0.4116$) соответствует числу успешных исходов $m=1$.
Ответ: Наиболее вероятное количество успешных исходов равно 1.