Номер 36.7, страница 337 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 36. Схема Бернулли - номер 36.7, страница 337.

Условие.

2 раза выпадет герб?

36.7. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $p$. Найдите вероятность того, что из 12 выстрелов стрелок попадёт в мишень ровно пять раз.

Решение.

Данная задача решается с помощью формулы Бернулли, которая применяется для последовательности независимых испытаний с двумя исходами. В нашем случае:

• общее число испытаний (выстрелов) $n = 12$;
• количество "успехов" (попаданий), которое нас интересует, $k = 5$;
• вероятность "успеха" (попадания) в одном испытании равна $p$;
• вероятность "неудачи" (промаха) в одном испытании равна $q = 1-p$.

Формула Бернулли для вероятности того, что в $n$ испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, имеет вид: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$ Подставим в нее наши значения: $P_{12}(5) = C_{12}^5 p^5 (1-p)^{12-5} = C_{12}^5 p^5 (1-p)^7$ Теперь вычислим биномиальный коэффициент $C_{12}^5$ (число сочетаний из 12 по 5): $C_{12}^5 = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ Сократим дробь: $10$ в числителе и $5 \cdot 2$ в знаменателе; $12$ в числителе и $4 \cdot 3$ в знаменателе. $C_{12}^5 = 11 \cdot 9 \cdot 8 = 792$ Подставим полученное значение коэффициента обратно в формулу вероятности: $P_{12}(5) = 792 p^5 (1-p)^7$
Ответ: $792p^5(1-p)^7$