Номер 36.6, страница 337 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 36. Схема Бернулли - номер 36.6, страница 337.

Условие.

36.6. Монету подбрасывают 7 раз. Какова вероятность того, что ровно 2 раза выпадет герб?

Решение.

36.6.

Данная задача относится к схеме испытаний Бернулли. Вероятность того, что в $n$ независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события $A$ равна $p$, событие $A$ наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
где $C_n^k$ – число сочетаний из $n$ по $k$, которое равно $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае:
- Общее число испытаний (подбрасываний монеты) $n = 7$.
- Количество интересующих нас событий (выпадений герба) $k = 2$.
- Вероятность выпадения герба в одном испытании $p = \frac{1}{2}$.
- Вероятность невыпадения герба (выпадения решки) $1-p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Сначала вычислим число сочетаний $C_7^2$ – это количество способов, которыми могут выпасть 2 герба в 7 бросках:
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{5! \cdot 6 \cdot 7}{2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{6 \cdot 7}{2} = \frac{42}{2} = 21$.

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли:
$P_7(2) = C_7^2 \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2})^{7-2} = 21 \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2})^5 = 21 \cdot (\frac{1}{2})^{2+5} = 21 \cdot (\frac{1}{2})^7$
$P_7(2) = 21 \cdot \frac{1}{128} = \frac{21}{128}$.

Альтернативный способ решения:
Общее число всех возможных исходов при 7 подбрасываниях монеты равно $2^7$, так как при каждом броске есть 2 варианта (герб или решка).
$N_{общ} = 2^7 = 128$.
Число благоприятных исходов — это количество комбинаций, при которых 2 раза выпадает герб и, соответственно, 5 раз решка. Это число способов выбрать 2 позиции для герба из 7 возможных, то есть число сочетаний $C_7^2$.
$N_{бл} = C_7^2 = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$.
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
$P = \frac{N_{бл}}{N_{общ}} = \frac{21}{128}$.

Ответ: $\frac{21}{128}$