Номер 36.12, страница 338 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 36. Схема Бернулли - номер 36.12, страница 338.

Условие.

36.12. Есть $r$ ящиков, в каждом из которых лежат $n$ чёрных и $m$ белых шаров. Из каждого ящика наугад берут по одному шару. Какова вероятность того, что среди взятых шаров будет ровно $k$ чёрных?

Решение.

Рассмотрим один ящик. В нем находится $n$ черных и $m$ белых шаров, то есть всего $n+m$ шаров.

Вероятность вытащить черный шар из одного ящика равна $p = \frac{n}{n+m}$.

Вероятность вытащить белый шар из одного ящика равна $q = \frac{m}{n+m}$.

Мы проводим $r$ независимых испытаний (вытаскиваем по одному шару из каждого из $r$ ящиков). Каждое испытание имеет два исхода: либо вытащен черный шар (успех), либо белый (неудача). Вероятность успеха $p$ одинакова для всех испытаний.

Такая последовательность испытаний описывается схемой Бернулли. Вероятность того, что в $r$ испытаниях произойдет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_r(k) = C_r^k p^k q^{r-k}$

где $C_r^k = \frac{r!}{k!(r-k)!}$ — число сочетаний из $r$ по $k$, то есть количество способов выбрать $k$ ящиков, из которых будут извлечены черные шары.

Подставим наши значения вероятностей $p$ и $q$ в эту формулу:

$P_r(k) = C_r^k \left(\frac{n}{n+m}\right)^k \left(\frac{m}{n+m}\right)^{r-k}$

Упростим выражение, объединив знаменатели:

$P_r(k) = C_r^k \frac{n^k}{(n+m)^k} \frac{m^{r-k}}{(n+m)^{r-k}} = C_r^k \frac{n^k m^{r-k}}{(n+m)^{k+r-k}} = C_r^k \frac{n^k m^{r-k}}{(n+m)^r}$

Это и есть искомая вероятность.

Ответ: $C_r^k \frac{n^k m^{r-k}}{(n+m)^r}$