Номер 36.15, страница 338 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 36. Схема Бернулли - номер 36.15, страница 338.

Условие.

36.15. Во время эпидемии гриппа вероятность того, что врач, контактирующий с больными, сам заболеет в течение недели, равна $0,07$. Найдите вероятность того, что из 20 лечащих врачей поликлиники в течение недели заболеет не меньше 2 человек.

Решение.

Пусть событие $A$ заключается в том, что из 20 врачей в течение недели заболеет не меньше 2 человек. Это означает, что число заболевших $k$ может быть $k \in \{2, 3, \dots, 20\}$.

Данная задача описывается схемой независимых испытаний Бернулли, где:

• $n = 20$ — общее количество врачей (число испытаний).
• $p = 0,07$ — вероятность того, что врач заболеет в течение недели («успех»).
• $q = 1 - p = 1 - 0,07 = 0,93$ — вероятность того, что врач не заболеет («неудача»).

Вероятность события $A$ равна сумме вероятностей того, что заболеет ровно $k$ врачей, для всех $k$ от 2 до 20. Проще вычислить вероятность противоположного события $\bar{A}$, которое заключается в том, что заболеет меньше 2 врачей. Это означает, что не заболеет никто ($k=0$) или заболеет ровно один врач ($k=1$).

Тогда искомая вероятность будет $P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - (P(k=0) + P(k=1))$.

Для расчета вероятностей $P(k=0)$ и $P(k=1)$ используем формулу Бернулли:$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

1. Найдем вероятность того, что никто из 20 врачей не заболеет ($k=0$):$P(k=0) = C_{20}^0 \cdot (0,07)^0 \cdot (0,93)^{20} = 1 \cdot 1 \cdot (0,93)^{20} = (0,93)^{20}$.

2. Найдем вероятность того, что заболеет ровно один врач ($k=1$):$P(k=1) = C_{20}^1 \cdot (0,07)^1 \cdot (0,93)^{19} = 20 \cdot 0,07 \cdot (0,93)^{19} = 1,4 \cdot (0,93)^{19}$.

3. Теперь найдем вероятность противоположного события $\bar{A}$:$P(\bar{A}) = P(k=0) + P(k=1) = (0,93)^{20} + 1,4 \cdot (0,93)^{19}$.

Для удобства вычислений вынесем общий множитель $(0,93)^{19}$:$P(\bar{A}) = (0,93)^{19} \cdot (0,93 + 1,4) = 2,33 \cdot (0,93)^{19}$.

Произведем вычисления (с точностью до четырех знаков после запятой):$(0,93)^{19} \approx 0,2521$.$P(\bar{A}) \approx 2,33 \cdot 0,2521 \approx 0,5874$.

4. Наконец, найдем вероятность искомого события $A$:$P(A) = 1 - P(\bar{A}) \approx 1 - 0,5874 = 0,4126$.

Если провести более точные расчеты:$P(\bar{A}) \approx 0,5873$.$P(A) = 1 - P(\bar{A}) \approx 1 - 0,5873 = 0,4127$.

Ответ: $0,4127$.