Номер 36.10, страница 337 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 36. Схема Бернулли - номер 36.10, страница 337.

Условие.

36.10. В новой квартире вкрутили 6 новых лампочек. Вероятность того, что лампочка проработает не менее года, составляет 0,95. Какова вероятность того, что в течение года придётся заменить ровно 2 лампочки?

Решение.

Данная задача решается с использованием формулы Бернулли для схемы независимых испытаний. Каждая из 6 лампочек может либо перегореть в течение года, либо нет, причем эти события для разных лампочек независимы.

Определим параметры для формулы Бернулли:

• $n = 6$ — общее количество испытаний (лампочек).

• Событие A — лампочка перегорит в течение года и её придётся заменить. Мы ищем вероятность того, что это событие произойдет ровно 2 раза.

• $p$ — вероятность наступления события A для одной лампочки. По условию, вероятность того, что лампочка проработает не менее года, составляет 0,95. Следовательно, вероятность того, что она перегорит, равна $p = 1 - 0,95 = 0,05$.

• $q$ — вероятность противоположного события (лампочка проработает не менее года), $q = 1 - p = 0,95$.

• $k = 2$ — количество лампочек, которые должны перегореть.

Формула Бернулли для нахождения вероятности того, что событие A произойдет ровно $k$ раз в $n$ испытаниях, выглядит так:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

Подставим наши значения в формулу:

$P_6(2) = C_6^2 \cdot (0,05)^2 \cdot (0,95)^{6-2} = C_6^2 \cdot (0,05)^2 \cdot (0,95)^4$

Теперь вычислим каждую часть выражения:

1. Число сочетаний $C_6^2$:

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

2. Вероятности в нужных степенях:

$(0,05)^2 = 0,0025$

$(0,95)^4 = 0,81450625$

3. Перемножим полученные значения, чтобы найти итоговую вероятность:

$P_6(2) = 15 \cdot 0,0025 \cdot 0,81450625 = 0,0375 \cdot 0,81450625 = 0,030543984375$

Округляя результат, получаем приблизительно 0,031.

Ответ: $0,030543984375$.