Номер 36.11, страница 338 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 36. Схема Бернулли - номер 36.11, страница 338.

Условие.

36.11. При игре в теннис Андрей в среднем выигрывает у Сергея 2 гейма из 5. Какова вероятность того, что из 7 геймов Андрей выиграет ровно 2 гейма?

Решение.

Данная задача решается с помощью формулы Бернулли для последовательности независимых испытаний. Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где:

• $n$ — общее число испытаний (в данном случае, количество геймов);
• $k$ — число "успехов" (количество геймов, которые выиграл Андрей);
• $p$ — вероятность "успеха" в одном испытании (вероятность выигрыша Андрея в одном гейме);
• $q$ — вероятность "неудачи" ($q = 1 - p$, т.е. вероятность проигрыша Андрея в одном гейме);
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент (число сочетаний из $n$ по $k$).

Исходя из условия задачи, определим значения переменных:

• Вероятность того, что Андрей выиграет один гейм, составляет $p = \frac{2}{5} = 0.4$.
• Соответственно, вероятность того, что Андрей проиграет один гейм, равна $q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$ (или $q = \frac{3}{5}$).
• Общее количество геймов (испытаний) $n = 7$.
• Требуется найти вероятность того, что Андрей выиграет ровно $k = 2$ гейма.

Подставим эти значения в формулу Бернулли.

1. Найдем число сочетаний $C_7^2$:

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$.

2. Теперь вычислим итоговую вероятность:

$P_7(2) = C_7^2 \cdot p^2 \cdot q^{7-2} = 21 \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^5$.

$P_7(2) = 21 \cdot 0.16 \cdot 0.07776$.

$P_7(2) = 3.36 \cdot 0.07776 = 0.2612736$.

Можно также провести вычисления в обыкновенных дробях:

$P_7(2) = 21 \cdot (\frac{2}{5})^2 \cdot (\frac{3}{5})^5 = 21 \cdot \frac{4}{25} \cdot \frac{243}{3125} = \frac{21 \cdot 4 \cdot 243}{25 \cdot 3125} = \frac{20412}{78125}$.

$\frac{20412}{78125} = 0.2612736$.

Ответ: 0.2612736