Номер 36.17, страница 338 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 36. Схема Бернулли - номер 36.17, страница 338.

Условие.

36.17. Решите неравенство:

1) $|x^2 + 3x| < x + 4;$

2) $|x^2 + 3x| \ge 2 - x^2.$

Решение.

1) $|x^2 + 3x| < x + 4$

Неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе неравенств:

$ \begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > -g(x) \end{cases} $

Применим это к нашему случаю:

$ \begin{cases} x^2 + 3x < x + 4 \\ x^2 + 3x > -(x + 4) \end{cases} $

Также необходимо, чтобы правая часть исходного неравенства была положительной, так как модуль всегда неотрицателен. $x + 4 > 0$, откуда $x > -4$.

Решим первое неравенство системы:

$x^2 + 3x - x - 4 < 0$

$x^2 + 2x - 4 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 4 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$

Ветви параболы $y = x^2 + 2x - 4$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + 2x - 4 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-1 - \sqrt{5}; -1 + \sqrt{5})$.

Решим второе неравенство системы:

$x^2 + 3x > -x - 4$

$x^2 + 4x + 4 > 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата суммы:

$(x + 2)^2 > 0$

Это неравенство верно для всех действительных чисел $x$, кроме тех, где основание степени равно нулю, то есть $x \neq -2$.

Теперь найдем пересечение решений: $x \in (-1 - \sqrt{5}; -1 + \sqrt{5})$ и $x \neq -2$.

Оценим значения корней: $\sqrt{5} \approx 2.24$. Тогда $-1 - \sqrt{5} \approx -3.24$ и $-1 + \sqrt{5} \approx 1.24$.

Полученный интервал $(-1 - \sqrt{5}; -1 + \sqrt{5})$ полностью удовлетворяет условию $x > -4$.

Точка $x = -2$ принадлежит этому интервалу, поэтому ее необходимо исключить.

Объединяя результаты, получаем решение системы:

$x \in (-1 - \sqrt{5}; -2) \cup (-2; -1 + \sqrt{5})$.

Ответ: $(-1 - \sqrt{5}; -2) \cup (-2; -1 + \sqrt{5})$.

2) $|x^2 + 3x| \ge 2 - x^2$

Неравенство вида $|f(x)| \ge g(x)$ равносильно совокупности двух неравенств:

$f(x) \ge g(x)$ или $f(x) \le -g(x)$.

Рассмотрим оба случая.

Первый случай:

$x^2 + 3x \ge 2 - x^2$

$2x^2 + 3x - 2 \ge 0$

Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 2 = 0$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$

$x_1 = \frac{-3 - 5}{4} = -2$

$x_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ветви параболы $y = 2x^2 + 3x - 2$ направлены вверх, поэтому решение неравенства $2x^2 + 3x - 2 \ge 0$ находится на промежутках $x \in (-\infty; -2] \cup [\frac{1}{2}; +\infty)$.

Второй случай:

$x^2 + 3x \le -(2 - x^2)$

$x^2 + 3x \le -2 + x^2$

$3x \le -2$

$x \le -\frac{2}{3}$

Решением этого неравенства является промежуток $x \in (-\infty; -\frac{2}{3}]$.

Решением исходного неравенства является объединение решений, полученных в обоих случаях:

$(-\infty; -2] \cup [\frac{1}{2}; +\infty) \cup (-\infty; -\frac{2}{3}]$

Так как $-2 < -\frac{2}{3}$, то промежуток $(-\infty; -2]$ является частью промежутка $(-\infty; -\frac{2}{3}]$. Таким образом, их объединение равно $(-\infty; -\frac{2}{3}]$.

Окончательное решение — это объединение $(-\infty; -\frac{2}{3}]$ и $[\frac{1}{2}; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -\frac{2}{3}] \cup [\frac{1}{2}; +\infty)$.