Вопросы?, страница 344 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 37. Случайные величины - страница 344.

Условие.

1. Что называют случайной величиной?

2. Что называют множеством значений случайной величины?

3. Что называют распределением вероятностей случайной величины?

4. Какое распределение вероятностей называют биномиальным? Распределением Бернулли? Геометрическим распределением?

Решение.

1. Что называют случайной величиной?

Случайной величиной называют переменную, которая в результате случайного эксперимента принимает одно из множества своих возможных числовых значений. Какое именно значение примет переменная, заранее неизвестно; это зависит от случая. Другими словами, это функция, которая ставит в соответствие каждому элементарному исходу случайного эксперимента некоторое число.

Например, при подбрасывании игральной кости случайной величиной будет число выпавших очков. Возможные значения этой величины — 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Ответ: Случайная величина — это переменная, значение которой представляет собой числовой исход случайного явления или эксперимента.

2. Что называют множеством значений случайной величины?

Множеством значений случайной величины (или областью значений) называют совокупность всех возможных числовых значений, которые эта величина может принять в результате эксперимента.

Например, для случайной величины $X$, равной числу появлений "орла" при двух бросках монеты, множеством значений будет $\{0, 1, 2\}$. Для случайной величины $Y$, равной числу на стандартной игральной кости, множеством значений будет $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Ответ: Множество значений случайной величины — это перечень всех возможных числовых значений, которые она может принимать.

3. Что называют распределением вероятностей случайной величины?

Распределением вероятностей (или законом распределения) случайной величины называют любое правило (в виде таблицы, функции или графика), которое устанавливает соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления. Для дискретной случайной величины это обычно таблица, в которой перечислены все возможные значения $x_i$ и соответствующие им вероятности $p_i = P(X = x_i)$.

Важнейшим свойством любого распределения вероятностей является то, что сумма всех вероятностей равна единице: $\sum p_i = 1$.

Например, распределение вероятностей для числа очков $X$ при броске правильной игральной кости выглядит так:

$x_i$	1	2	3	4	5	6
$p_i$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$

Ответ: Распределение вероятностей случайной величины — это правило, описывающее, с какими вероятностями случайная величина принимает свои возможные значения.

4. Какое распределение вероятностей называют биномиальным? Распределением Бернулли? Геометрическим распределением?

Это три разных вида дискретных распределений вероятностей.

Распределение Бернулли — это распределение вероятностей случайной величины, принимающей всего два значения: 1 ("успех") с вероятностью $p$ и 0 ("неудача") с вероятностью $q = 1-p$. Оно описывает один эксперимент с двумя исходами.

Биномиальное распределение — это распределение вероятностей числа "успехов" в серии из $n$ независимых одинаковых испытаний (испытаний Бернулли). Вероятность "успеха" в каждом испытании равна $p$. Вероятность того, что случайная величина $X$ (число успехов) примет значение $k$ (где $k = 0, 1, ..., n$), вычисляется по формуле Бернулли: $P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

Геометрическое распределение — это распределение вероятностей случайной величины, равной номеру первого "успешного" испытания в серии независимых испытаний Бернулли. Если вероятность "успеха" в каждом испытании равна $p$, то вероятность того, что первый успех произойдет в $k$-м испытании ($k = 1, 2, 3, ...$), равна: $P(X=k) = (1-p)^{k-1}p$. Это означает, что первые $k-1$ испытаний были "неудачами", а $k$-е — "успехом".

Ответ: Распределение Бернулли описывает один опыт с двумя исходами ("успех"/"неудача"). Биномиальное распределение описывает число успехов в фиксированной серии из $n$ независимых опытов. Геометрическое распределение описывает номер первого успешного опыта в серии независимых опытов.