Номер 36.13, страница 338 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 36. Схема Бернулли - номер 36.13, страница 338.

Условие.

36.13. В $r$ вагонов электрички случайным образом садятся $n$ пассажиров.

Какова вероятность того, что в первом вагоне окажется $k$ из этих пассажиров?

Решение.

Для решения данной задачи мы используем классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Сначала определим общее число всех возможных способов размещения $n$ пассажиров по $r$ вагонам. Каждый из $n$ пассажиров может выбрать любой из $r$ вагонов. Поскольку выбор каждого пассажира не зависит от выбора других, мы можем применить правило умножения. Первый пассажир имеет $r$ вариантов выбора, второй — $r$ вариантов, и так далее для всех $n$ пассажиров. Таким образом, общее число равновозможных исходов $N$ равно:$N = r \times r \times \dots \times r = r^n$

Теперь определим число благоприятствующих исходов $M$, то есть таких исходов, при которых в первом вагоне окажется ровно $k$ пассажиров. Для этого необходимо выполнить два последовательных действия:

1. Выбрать $k$ пассажиров из $n$, которые сядут в первый вагон. Количество способов сделать это равно числу сочетаний из $n$ по $k$, которое вычисляется по формуле:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

2. Разместить оставшихся $n-k$ пассажиров по оставшимся $r-1$ вагонам (все вагоны, кроме первого). Каждый из этих $n-k$ пассажиров может выбрать любой из $r-1$ вагонов. Аналогично вычислению общего числа исходов, количество способов это сделать равно:$(r-1)^{n-k}$

Общее число благоприятствующих исходов $M$ равно произведению числа способов выполнения этих двух действий:$M = C_n^k \cdot (r-1)^{n-k}$

Наконец, искомая вероятность $P$ равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:$P = \frac{M}{N} = \frac{C_n^k (r-1)^{n-k}}{r^n}$

Эту же задачу можно решить с помощью схемы испытаний Бернулли. Рассмотрим выбор вагона одним пассажиром как одно испытание. "Успехом" будем считать, что пассажир сел в первый вагон. Вероятность "успеха" для одного пассажира $p = \frac{1}{r}$. Вероятность "неудачи" (пассажир сел в любой другой вагон) $q = 1 - p = \frac{r-1}{r}$. Тогда вероятность того, что в $n$ испытаниях (для $n$ пассажиров) будет ровно $k$ "успехов", вычисляется по формуле Бернулли:$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k} = C_n^k \left(\frac{1}{r}\right)^k \left(\frac{r-1}{r}\right)^{n-k} = \frac{C_n^k (r-1)^{n-k}}{r^n}$

Ответ: $P = \frac{C_n^k (r-1)^{n-k}}{r^n}$