Номер 36.8, страница 337 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 36. Схема Бернулли - номер 36.8, страница 337.

Условие.

36.8. Вероятность того, что станок изготовит бракованную деталь, равна $p$. Какова вероятность того, что из 25 деталей ровно 3 будут бракованными?

Решение.

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая позволяет найти вероятность наступления события ровно $k$ раз в серии из $n$ независимых испытаний.

Формула Бернулли имеет вид:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где:

• $n$ — общее число испытаний (в данном случае, общее количество деталей);
• $k$ — число "успехов" (в данном случае, количество бракованных деталей);
• $p$ — вероятность "успеха" в одном испытании (вероятность того, что деталь бракованная);
• $q = 1 - p$ — вероятность "неудачи" (вероятность того, что деталь не бракованная);
• $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$, которое рассчитывается по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В условиях нашей задачи дано:

• $n = 25$ (всего деталей);
• $k = 3$ (количество бракованных деталей);
• $p$ — вероятность изготовить бракованную деталь;
• $q = 1 - p$ — вероятность изготовить стандартную деталь.

Сначала вычислим число сочетаний $C_{25}^3$:

$C_{25}^3 = \frac{25!}{3!(25-3)!} = \frac{25!}{3!22!} = \frac{22! \cdot 23 \cdot 24 \cdot 25}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 22!} = \frac{23 \cdot 24 \cdot 25}{6} = 23 \cdot 4 \cdot 25 = 2300$

Теперь подставим все известные значения в формулу Бернулли, чтобы найти искомую вероятность:

$P_{25}(3) = C_{25}^3 \cdot p^3 \cdot (1-p)^{25-3} = 2300 \cdot p^3 \cdot (1-p)^{22}$

Таким образом, вероятность того, что из 25 деталей ровно 3 будут бракованными, равна $2300 p^3 (1-p)^{22}$.

Ответ: $2300 p^3 (1-p)^{22}$